Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Trên sân bóng lớn có chiếc camera treo lơ lửng bằng bốn sợi cáp. Với phần mềm điều khiển, vị trí của nó chỉ là một bộ ba con số. Từ những bộ ba con số như vậy, bạn tính được camera cách quả bóng bao xa và cần xoay một góc bao nhiêu độ. Bài này cho bạn đúng bộ công cụ đó.

Tin vui: mọi công thức ở đây giống hệt trong mặt phẳng mà bạn đã học ở lớp 10, chỉ thêm một toạ độ thứ ba.

Trong cả bài, ta xét hệ toạ độ Oxyz, với a = (x; y; z) và b = (x'; y'; z') là hai vectơ.

1. Cộng, trừ, nhân với một số

Làm trên từng toạ độ:

• a + b = (x + x'; y + y'; z + z')
• a − b = (x − x'; y − y'; z − z')
• k·a = (kx; ky; kz) với k là một số thực

Ví dụ 1 (cánh tay robot). Cánh tay robot trong kho hàng dịch chuyển theo vectơ u = (3; 2; 0), rồi dịch tiếp theo vectơ v = (−1; 1; 4). Đặt gốc của v vào ngọn của u, ta thấy tổng cộng robot đã dịch theo
u + v = (3 + (−1); 2 + 1; 0 + 4) = (2; 3; 4).

Ví dụ 2. Cho a = (1; −2; 4) và b = (3; 0; −1). Khi đó 2a = (2; −4; 8) và
2a − b = (2 − 3; −4 − 0; 8 − (−1)) = (−1; −4; 9).

Hai vectơ cùng phương. Vectơ c = (−2; 4; −8) đúng bằng −2a. Hai vectơ mà vectơ này bằng một số nhân với vectơ kia thì cùng phương. Vectơ đối của a là −a = (−x; −y; −z).

2. Trung điểm và trọng tâm

• Trung điểm M của đoạn thẳng AB: cộng toạ độ hai đầu mút rồi chia 2.
  M = ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)
• Trọng tâm G của tam giác ABC: cộng toạ độ ba đỉnh rồi chia 3.
  G = ((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3; (zA + zB + zC)/3)

Ví dụ 1 (dây trượt). Một dây trượt căng thẳng từ đỉnh tháp A(0; 0; 12) xuống bãi đáp B(40; 30; 2). Điểm chính giữa dây có toạ độ ((0 + 40)/2; (0 + 30)/2; (12 + 2)/2) = (20; 15; 7).

Ví dụ 2. Tam giác có ba đỉnh (3; 0; −1), (−1; 4; 2), (4; 2; 5). Trọng tâm là
((3 − 1 + 4)/3; (0 + 4 + 2)/3; (−1 + 2 + 5)/3) = (2; 2; 2).

3. Tích vô hướng

Nhân từng cặp toạ độ tương ứng rồi cộng lại:

a · b = xx' + yy' + zz'

Kết quả là một con số, không phải vectơ.

Hai vectơ (khác vectơ không) vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.

Ví dụ 1 (hai tia laser). Hai tia laser chiếu theo hai hướng a = (2; 1; −2) và b = (1; 2; 2).
a · b = 2·1 + 1·2 + (−2)·2 = 2 + 2 − 4 = 0. Hai tia vuông góc với nhau, không cần thước đo góc.

Ví dụ 2. p = (3; −1; 2) và q = (2; 4; −3).
p · q = 6 − 4 − 6 = −4 ≠ 0, nên hai vectơ này không vuông góc.

4. Độ dài, khoảng cách, góc

• Độ dài: |a| = √(x² + y² + z²). Đây là định lí Pythagore trong không gian (đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước x, y, z).
• Khoảng cách giữa hai điểm: AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²).
• Góc giữa hai vectơ khác vectơ không: cos(a, b) = (a · b) / (|a| · |b|).

Ví dụ 1 (độ dài). a = (2; 1; −2) có |a| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.

Ví dụ 2 (khoảng cách). A(1; −1; 2), B(4; 3; 14). Vectơ AB = (3; 4; 12), nên AB = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Ví dụ 3 (góc). u = (1; 0; 1), v = (0; 1; 1). Tích vô hướng bằng 1, mỗi độ dài bằng √2, nên cos(u, v) = 1/(√2 · √2) = 1/2. Góc là 60°.

Ví dụ 4 (góc). Hai tia laser ở mục 3 có tích vô hướng bằng 0, nên cos bằng 0 và góc là 90°.

Bảng công thức

Lỗi hay gặp

1. Trừ số âm. 6 − (−2) = 8, không phải 4. Viết hẳn dấu ngoặc ra rồi mới tính.
2. Trọng tâm mà chia 2. Hai điểm thì chia 2, ba đỉnh thì chia 3.
3. Viết tích vô hướng thành một vectơ. a · b là một con số. Đừng viết (xx'; yy'; zz').
4. Lấy nhầm chiều vectơ khi tính góc của tam giác. Góc tại đỉnh D là góc giữa hai vectơ chung gốc D (vectơ DE và vectơ DK). Nếu dùng vectơ ED thì bạn ra góc bù.
5. Toạ độ vectơ AB. Lấy điểm cuối trừ điểm đầu: (xB − xA; yB − yA; zB − zA), không phải ngược lại.
6. Quên bình phương số âm. (−21)² = 441, luôn dương.
7. cos âm. cos âm nghĩa là góc tù (lớn hơn 90°), không phải tính sai.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính toạ độ của vectơ

Cách làm: nhân hệ số vào từng vectơ trước, rồi cộng trừ theo từng toạ độ.

Bài 1. Cho a = (2; −3; 1) và b = (−1; 4; 0).
a) Tính 3a − 2b.
b) Tìm x, y để vectơ c = (x; 6; y) cùng phương với a.

Bài 2. Cho A(2; 5; −3) và B(6; −1; 1). Tìm toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB.

Dạng 2. Tích vô hướng, độ dài, góc

Cách làm: tìm toạ độ hai vectơ chung gốc, tính tích vô hướng, tính hai độ dài, rồi thay vào công thức cos.

Bài 3. Cho tam giác DEK với D(1; 2; 0), E(3; 1; 2), K(2; 4; 2). Tính góc tại đỉnh D.

Bài 4. Tìm m để hai vectơ u = (m; 2; −1) và v = (3; m; 5) vuông góc.

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: đổi mỗi vật thành một điểm có toạ độ, mỗi hướng thành một vectơ, rồi dùng công thức độ dài và góc.

Bài 5. Sân bóng dài 100 m, rộng 60 m. Chọn hệ trục có gốc O ở một góc sân, mặt sân là mặt phẳng (Oxy), đơn vị là mét. Camera treo cáp ở C(50; 30; 21), quả bóng ở B(62; 14; 0), một cầu thủ đứng ở P(70; 30; 0).
a) Camera cách quả bóng bao xa?
b) Đang hướng vào quả bóng, camera phải xoay một góc bao nhiêu để hướng vào cầu thủ?

Bài 6. Dây trượt ở mục 2 căng thẳng từ A(0; 0; 12) xuống B(40; 30; 2) (đơn vị mét). Dây dài bao nhiêu mét? Làm tròn đến hàng phần mười.

Chuyện bên lề: dấu chấm và "con quái vật lai"

Dấu chấm trong a · b có một lịch sử khá ồn ào.

Năm 1843, nhà toán học Ireland William Rowan Hamilton nghĩ ra quaternion, một loại số có bốn thành phần a + bi + cj + dk. Người ta dùng nó để tính toán với các đại lượng có hướng trong không gian. Rắc rối ở chỗ: nhân hai quaternion với nhau thì kết quả lẫn cả một phần số lẫn một phần vectơ, muốn dùng riêng thứ nào phải bóc tách.

Khoảng năm 1881, giáo sư Josiah Willard Gibbs ở Đại học Yale (Mỹ) cho in riêng một tập bài giảng dành cho sinh viên của mình. Trong đó ông tách hẳn hai thứ ấy thành hai phép nhân riêng. Phép nhân cho ra một con số được kí hiệu bằng một dấu chấm, chính là tích vô hướng bạn vừa học.

Những người yêu quaternion không vui. Năm 1890, giáo sư Peter Guthrie Tait viết rằng hệ kí hiệu của Gibbs là "một thứ quái vật lưỡng tính", ghép từ kí hiệu của hai người khác. Hai bên tranh luận qua lại trên tạp chí khoa học suốt mấy năm.

Kết cục: năm 1901, một học trò của Gibbs soạn tập bài giảng thành sách giáo khoa Vector Analysis, và cách viết này thắng. Ngày nay cả thế giới dùng dấu chấm của Gibbs.

Ngày nay dùng vào đâu?

• Tìm kiếm văn bản. Mỗi văn bản được biến thành một vectơ (mỗi từ ứng với một toạ độ). Muốn biết hai văn bản giống nhau tới đâu, người ta tính cos của góc giữa hai vectơ, đúng bằng công thức của bài này: tích vô hướng chia tích hai độ dài. Chỉ khác là vectơ có hàng nghìn toạ độ thay vì ba.
• Vật lí. Công của một lực bằng tích vô hướng của vectơ lực và vectơ độ dịch chuyển.

Nguồn và mức độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.

Trò chơi ở nhà (5 phút): đo bằng toạ độ, kiểm bằng thước

Cần: một thước dây, một chồng sách, hai đồ vật nhỏ (cục tẩy, nắp bút).

1. Lấy mặt bàn làm mặt phẳng (Oxy), một góc bàn làm gốc O, hai mép bàn làm trục Ox và Oy, đơn vị là xăng-ti-mét.
2. Đặt cục tẩy lên mặt bàn, đặt nắp bút lên chồng sách. Đo ba toạ độ của mỗi vật (toạ độ thứ ba là độ cao so với mặt bàn).
3. Tính khoảng cách giữa hai vật bằng công thức căn của tổng bình phương.
4. Kéo thước dây đo thẳng từ vật này tới vật kia. Hai kết quả lệch nhau bao nhiêu?

Chơi thêm: đặt vật thứ ba, tính góc tại cục tẩy giữa hai hướng nhìn tới hai vật còn lại, rồi ước lượng bằng mắt xem có hợp lí không.