Phương trình mặt phẳng

Một mặt phẳng có vô số điểm, nhưng chỉ cần bốn con số là ghi lại được trọn vẹn nó. Bài này chỉ cho bạn cách đổi mặt phẳng thành phương trình, rồi dùng phương trình để xét song song, vuông góc và tính khoảng cách.

Bạn cần nhớ lại: toạ độ của vectơ trong không gian, tích vô hướng, độ dài vectơ.

1. Vectơ pháp tuyến

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(P)$ gọi là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

• Nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến thì $k\vec{n}$ ($k \ne 0$) cũng vậy. Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả cùng phương.
• Biết một điểm và một vectơ pháp tuyến là mặt phẳng hoàn toàn xác định.

Ví dụ 1. Một tấm pin mặt trời phẳng. Mũi tên vuông góc với mặt tấm pin là một vectơ pháp tuyến. Kéo mũi tên dài gấp ba, hay quay ngược nó lại, nó vẫn vuông góc với tấm pin, nên vẫn là vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2. Mặt phẳng $(Oxy)$ vuông góc với trục $Oz$ nên $\vec{k} = (0; 0; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của nó. Còn $\vec{i} = (1; 0; 0)$ nằm ngay trong $(Oxy)$ nên không phải.

2. Cặp vectơ chỉ phương và tích có hướng

Hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ không cùng phương, có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$, gọi là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$.

Muốn có vectơ pháp tuyến, ta cần một vectơ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Đó là tích có hướng:

$\vec{u} = (a; b; c),\ \vec{v} = (a'; b'; c') \ \Rightarrow\ [\vec{u}, \vec{v}] = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b).$

Cách nhớ: viết hai vectơ thành hai hàng. Che cột 1, nhân chéo hai cột còn lại rồi trừ, được toạ độ thứ nhất. Che cột 2, lấy hai cột còn lại theo thứ tự xoay vòng (cột 3 rồi cột 1), được toạ độ thứ hai. Che cột 3, được toạ độ thứ ba.

Ví dụ 1. $\vec{u} = (1; 2; 0)$, $\vec{v} = (0; 1; 3)$.

$[\vec{u}, \vec{v}] = (2\cdot 3 - 1\cdot 0;\ 0\cdot 0 - 3\cdot 1;\ 1\cdot 1 - 0\cdot 2) = (6; -3; 1)$.

Thử lại bằng tích vô hướng: $6\cdot 1 - 3\cdot 2 + 1\cdot 0 = 0$ và $6\cdot 0 - 3\cdot 1 + 1\cdot 3 = 0$. Đúng là vuông góc với cả hai.

Ví dụ 2. $\vec{u} = (1; -2; 3)$, $\vec{v} = (-2; 4; -6)$. Vì $\vec{v} = -2\vec{u}$ nên hai vectơ cùng phương, và $[\vec{u}, \vec{v}] = (0; 0; 0)$. Hai vectơ cùng phương không làm thành cặp vectơ chỉ phương.

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng $(P)$ qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$. Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$, tức là

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \iff Ax + By + Cz + D = 0.$

Dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ ($A$, $B$, $C$ không đồng thời bằng $0$) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Đọc ngược lại: mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $(A; B; C)$.

Ví dụ 1. Mặt phẳng qua $(1; 0; 2)$, pháp tuyến $(2; -1; 3)$: $2(x - 1) - y + 3(z - 2) = 0 \iff 2x - y + 3z - 8 = 0$.

Ví dụ 2. Mặt phẳng $x - 4z + 5 = 0$ có pháp tuyến $(1; 0; -4)$ (vắng $y$ nghĩa là hệ số bằng $0$). Điểm $(3; 7; 2)$ thuộc mặt phẳng vì $3 - 8 + 5 = 0$; điểm $(1; 1; 1)$ không thuộc vì $1 - 4 + 5 = 2 \ne 0$.

Ba cách cho một mặt phẳng

Ví dụ 3. Mặt phẳng qua $K(1; 1; 1)$, song song với trục $Ox$ và với giá của $\vec{v} = (0; 2; 1)$. Cặp vectơ chỉ phương là $\vec{i} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v}$. $[\vec{i}, \vec{v}] = (0\cdot 1 - 2\cdot 0;\ 0\cdot 0 - 1\cdot 1;\ 1\cdot 2 - 0\cdot 0) = (0; -1; 2)$. Phương trình: $-(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \iff y - 2z + 1 = 0$.

Ví dụ 4 (mặt phẳng cắt ba trục). Mặt phẳng cắt $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại $(2; 0; 0)$, $(0; 5; 0)$, $(0; 0; 4)$ có phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} + \dfrac{z}{4} = 1$, tức $10x + 4y + 5z - 20 = 0$. Bạn thử thay ba điểm vào để kiểm tra. Tổng quát, mặt phẳng cắt ba trục tại $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$ với $a, b, c \ne 0$ có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

4. Hai mặt phẳng vuông góc, song song

Cho $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$, pháp tuyến $\vec{n}$, $\vec{n'}$.

• Vuông góc: $(\alpha) \perp (\beta) \iff \vec{n} \cdot \vec{n'} = 0 \iff AA' + BB' + CC' = 0$.
• Song song: $\vec{n'} = k\vec{n}$ và $D' \ne kD$.
• Trùng nhau: $\vec{n'} = k\vec{n}$ và $D' = kD$.

Ví dụ 1. $x + 2y - z + 1 = 0$ và $3x - y + z - 4 = 0$: $1\cdot 3 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 = 0$ nên vuông góc.

Ví dụ 2. $x + 2y - z + 1 = 0$ và $2x + 4y - 2z + 7 = 0$: ba hệ số đầu gấp đôi ($k = 2$) nhưng $7 \ne 2\cdot 1$ nên song song. Nếu số cuối là $2$ thay vì $7$ thì hai mặt phẳng trùng nhau.

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

$d\big(M_0, (P)\big) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$

Nói bằng lời: thay toạ độ điểm vào vế trái, lấy trị tuyệt đối, rồi chia cho độ dài vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 1. $M_0(1; 2; 1)$ và $(P): 4x - 4y + 7z + 15 = 0$: $d = \dfrac{|4 - 8 + 7 + 15|}{\sqrt{16 + 16 + 49}} = \dfrac{18}{9} = 2$.

Ví dụ 2. Khoảng cách từ điểm $(1; 1; 1)$ đến mặt phẳng $2x + 3y + 6z - 4 = 0$: $d = \dfrac{|2 + 3 + 6 - 4|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \dfrac{7}{7} = 1$.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

1. Sai dấu toạ độ thứ hai của tích có hướng. Toạ độ thứ hai là $ca' - c'a$ (cột 3 trước, cột 1 sau), không phải $ac' - a'c$. Tính xong nên thử lại: tích vô hướng với $\vec{u}$ và với $\vec{v}$ phải bằng $0$.
2. Quên đổi dấu khi toạ độ điểm âm. Qua $H(2; -3; 1)$ thì là $y - (-3) = y + 3$.
3. Thấy pháp tuyến cùng phương là kết luận song song. Phải so thêm hệ số tự do: nếu cả bốn hệ số cùng tỉ lệ thì hai mặt phẳng trùng nhau.
4. Phương trình vắng một ẩn. $x - 4z + 5 = 0$ vẫn là mặt phẳng trong không gian, pháp tuyến $(1; 0; -4)$, không phải đường thẳng.
5. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng $|D - D'|$ chia độ dài pháp tuyến khi hai phương trình chưa cùng hệ số. Hoặc đưa về cùng hệ số trước, hoặc lấy một điểm trên mặt này rồi tính tới mặt kia.
6. Quên trị tuyệt đối hoặc quên căn ở mẫu trong công thức khoảng cách.
7. Quên điều kiện của phương trình tổng quát. $Ax + By + Cz + D = 0$ chỉ là phương trình mặt phẳng khi $A$, $B$, $C$ không đồng thời bằng $0$. Phương trình có $x^2$, có $xy$ hay có ẩn ở mẫu không phải phương trình mặt phẳng.
8. Kết luận điểm thuộc mặt phẳng mà không thay số. Điểm thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình; muốn biết thì phải thay vào và tính.

Hai mẹo đáng nhớ.

• Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau thì nhận hai vectơ pháp tuyến của chúng làm cặp vectơ chỉ phương, nên pháp tuyến của nó là tích có hướng của hai pháp tuyến kia.
• Một cách khác để chứng minh hai mặt phẳng song song: chỉ ra chúng có chung một vectơ pháp tuyến, và có một điểm thuộc mặt này mà không thuộc mặt kia.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Lập phương trình mặt phẳng

Cách làm: tìm một điểm và một vectơ pháp tuyến (có hai vectơ chỉ phương thì lấy tích có hướng), rồi thay vào $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng qua $H(2; -3; 1)$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 1; -2)$.

Bài 2 (trong video). Một tấm bạt che nắng căng phẳng trên ba đầu cọc $A(0; 0; 3)$, $B(4; 0; 2)$, $C(0; 3; 4)$ (đơn vị: mét). Viết phương trình mặt phẳng chứa tấm bạt.

Dạng 2. Hai mặt phẳng song song, vuông góc

Cho $(P): 2x - y + 3z - 5 = 0$.

Bài 3. a) $(Q): 4x - 2y + 6z - 10 = 0$ có song song với $(P)$ không? b) Viết phương trình mặt phẳng qua $E(1; 2; -1)$ và song song với $(P)$. c) Tìm $m$ để mặt phẳng $x + my - z + 2 = 0$ vuông góc với $(P)$.

Dạng 3. Khoảng cách

Bài 4. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $2x - 3y + 6z + 6 = 0$ và $4x - 6y + 12z - 16 = 0$.

Bài 5 (trong video). Tấm bạt ở Bài 2 nằm trong mặt phẳng $3x - 4y + 12z - 36 = 0$. Một đầu phun sương gắn tại $S(1; 1; 2)$. Nó cách tấm bạt bao nhiêu mét?

Bài luyện thêm có trong tờ bài tập về nhà (PDF).

Chuyện bên lề

Hình học không cần hình vẽ. Khoảng năm 1773, khi đang làm việc ở Berlin, nhà toán học Lagrange viết một bài về hình chóp tam giác (tứ diện): diện tích, thể tích, trọng tâm, tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp. Điều lạ là ông không dựng hình, không kẻ đường phụ, mà đặt một đỉnh ở gốc toạ độ rồi tính tất cả bằng công thức. Theo các nhà sử học toán, ông còn tự hào là lời giải của mình hiểu được mà không cần hình vẽ. Một kết quả trong bài ấy: thể tích tứ diện có một đỉnh ở gốc toạ độ bằng một phần sáu trị tuyệt đối của định thức lập từ toạ độ ba đỉnh còn lại.

Cuốn sách không có hình nào. Mười lăm năm sau, năm 1788, Lagrange in cuốn Cơ học giải tích ở Paris. Lời tựa viết: người đọc sẽ không thấy hình vẽ nào trong tác phẩm này; các phương pháp trong sách không cần phép dựng hình, chỉ cần các phép toán đại số. Đó là tuyên bố mạnh nhất cho ý tưởng của bài học hôm nay: đổi hình thành phương trình, phần còn lại là tính.

Ngày nay. Khi bạn dùng điện thoại đặt thử một chiếc ghế ảo lên sàn nhà (thực tế tăng cường), máy theo dõi hàng trăm điểm nó nhận ra qua camera, tìm những cụm điểm cùng nằm trên một bề mặt phẳng như sàn, mặt bàn, tường, rồi coi bề mặt ấy là một mặt phẳng và đặt vật ảo lên. Tường trắng trơn ít chi tiết nên máy khó dò hơn.

Nguồn và mức độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.

Trò chơi 5 phút ở nhà

Tìm pháp tuyến bằng cây bút. Lấy một cuốn vở cứng, kê nghiêng lên chồng sách. Dựng cây bút vuông góc với mặt vở: đó là vectơ pháp tuyến. Giờ đặt hai cây bút khác nằm trên mặt vở theo hai hướng khác nhau (cặp vectơ chỉ phương). Thử xem: cây bút đứng có vuông góc với cả hai cây bút nằm không? Xoay hai cây bút nằm cho song song với nhau: lúc này có rất nhiều hướng vuông góc với cả hai, nên không xác định được pháp tuyến. Đó là lí do cặp vectơ chỉ phương phải không cùng phương.