Phương trình đường thẳng trong không gian

Học xong bài này bạn sẽ: nhận ra vectơ chỉ phương của một đường thẳng; viết được phương trình tham số và phương trình chính tắc; kiểm tra được hai đường thẳng có vuông góc không; và xét được hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hay chéo nhau.

Mở đầu: đào hầm từ hai phía

Hai đội thợ đào một đường hầm xuyên núi, mỗi đội từ một phía, hẹn gặp nhau giữa lòng núi.

Trên bản vẽ phẳng, hai đường thẳng không song song thì kiểu gì cũng cắt nhau. Trong không gian thì khác: chỉ cần lệch nhau một chút về độ cao, hai đường hầm sẽ trượt qua nhau và không bao giờ gặp. Muốn chắc chắn, phải viết được phương trình của từng đường thẳng rồi kiểm tra.

1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số

Một đường thẳng trong không gian được xác định khi biết một điểm nó đi qua và một hướng.

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ gọi là vectơ chỉ phương của $\Delta$. Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương thì $k\vec{u}$ (với $k \neq 0$) cũng là vectơ chỉ phương: kéo dài hay quay ngược lại đều được.

Đường thẳng đi qua $A(x_0; y_0; z_0)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$, có phương trình tham số

$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$

Không cần thuộc lòng: cứ nhớ toạ độ điểm, cộng t lần toạ độ vectơ chỉ phương. Mỗi giá trị của $t$ cho đúng một điểm trên đường thẳng, và ngược lại.

Ví dụ 1 (dây đèn trang trí). Một dây đèn căng thẳng từ điểm $A(1; 0; 4)$. Từ bóng này sang bóng kế tiếp luôn dịch đúng vectơ $\vec{u} = (1; 2; -1)$. Bóng thứ nhất ở $(2; 2; 3)$, bóng thứ hai ở $(3; 4; 2)$, bóng thứ $t$ ở $(1 + t;\ 2t;\ 4 - t)$. Cho $t$ nhận mọi số thực, ta được cả đường thẳng chứa sợi dây:

$x = 1 + t,\quad y = 2t,\quad z = 4 - t.$

Ví dụ 2 (đọc ngược lại, có bẫy). Đường thẳng $d$: $x = 3 - 2t$, $y = 4t$, $z = -1 + t$.

• Cho $t = 0$ được một điểm của $d$: $(3; 0; -1)$. Các hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $(-2; 4; 1)$.
• Điểm $N(1; 4; 1)$ có thuộc $d$ không? Dòng một cho $t = 1$, dòng hai cũng cho $t = 1$, nhưng dòng ba cho $t = 2$. Không có $t$ nào thoả cả ba dòng nên $N \notin d$.

Một điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả phương trình: cả ba dòng phải cho cùng một giá trị $t$.

2. Phương trình chính tắc

Rút $t$ ở cả ba dòng của phương trình tham số rồi cho bằng nhau. Nếu $a$, $b$, $c$ đều khác 0, ta được phương trình chính tắc

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}.$

Ví dụ 1. Dây đèn ở trên: $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 4}{-1}$.

Ví dụ 2 (đọc ngược lại). Cho $\dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 1}{-2} = \dfrac{z}{4}$. Vectơ chỉ phương nằm ở mẫu: $(3; -2; 4)$. Điểm thì phải đổi dấu: $(-2; 1; 0)$, vì $x + 2 = x - (-2)$.

Nếu vectơ chỉ phương có một toạ độ bằng 0, chẳng hạn $\vec{u} = (2; 0; -5)$, thì đường thẳng không có phương trình chính tắc; khi đó chỉ viết phương trình tham số.

Đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng qua hai điểm phân biệt $A$, $B$ nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương. Ví dụ với $A(0; 3; -2)$ và $B(2; 2; 2)$: $\overrightarrow{AB} = (2; -1; 4)$, nên $x = 2t$, $y = 3 - t$, $z = -2 + 4t$.

3. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng $\Delta_1$, $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$, $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$:

$\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \iff a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0.$

Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc không nhất thiết cắt nhau.

Ví dụ 1 (giàn mái). Hai thanh thép trong giàn mái nhà thi đấu chạy theo hai hướng $(2; -1; 2)$ và $(1; 4; 1)$. Tích vô hướng: $2 - 4 + 2 = 0$. Hai thanh vuông góc với nhau, dù chúng không hề chạm nhau.

Ví dụ 2. Hai vectơ chỉ phương là $(k; 2; -1)$ và $(2; 1; 4)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $2k + 2 - 4 = 0$, tức là $k = 1$.

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian có bốn khả năng: song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau (không song song mà cũng không có điểm chung).

Cách xét, cho $\Delta_1$ (tham số $t$) và $\Delta_2$ (tham số $s$):

1. So hai vectơ chỉ phương. Nếu cùng phương, lấy một điểm của $\Delta_1$ thử vào $\Delta_2$: thuộc thì trùng nhau, không thuộc thì song song.
2. Nếu không cùng phương, cho toạ độ hai đường bằng nhau rồi giải hệ ba phương trình theo $t$ và $s$: có nghiệm thì cắt nhau (thay $t$ vào để tìm giao điểm), vô nghiệm thì chéo nhau.

Ví dụ 1 (song song). $d_1$: $x = 2t$, $y = 1 - t$, $z = 3 + t$ và $d_2$: $x = 4 - 4s$, $y = 2s$, $z = 1 - 2s$. Ta có $\vec{u}_2 = (-4; 2; -2) = -2\vec{u}_1$: cùng phương. Điểm $(0; 1; 3)$ của $d_1$: thử vào $d_2$ thì $4 - 4s = 0$ cho $s = 1$, khi đó $y = 2 \neq 1$. Điểm này không thuộc $d_2$, nên $d_1 \parallel d_2$.

Ví dụ 2 (hai dây đèn cắt nhau). Căng thêm dây đèn thứ hai: $x = 3s$, $y = 5 - s$, $z = 1 + s$. Hai vectơ chỉ phương $(1; 2; -1)$ và $(3; -1; 1)$ không cùng phương. Giải hệ $1 + t = 3s$, $2t = 5 - s$, $4 - t = 1 + s$: hai phương trình đầu cho $t = 2$, $s = 1$; phương trình thứ ba $2 = 2$, đúng. Hai dây cắt nhau tại $(3; 4; 2)$, đúng chỗ bóng đèn thứ hai.

Cách thứ hai: dùng tích có hướng

Gọi $A_1 \in \Delta_1$, $A_2 \in \Delta_2$ và $\vec{n} = [\vec{u}_1, \vec{u}_2]$.

• $\vec{n} = \vec{0}$ (hai vectơ chỉ phương cùng phương): song song nếu $A_1 \notin \Delta_2$, trùng nhau nếu $A_1 \in \Delta_2$.
• $\vec{n} \neq \vec{0}$ và $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \vec{n} = 0$: cắt nhau.
• $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \vec{n} \neq 0$: chéo nhau.

Thử với hai dây đèn: $A_1(1; 0; 4)$, $A_2(0; 5; 1)$, $\vec{n} = [(1; 2; -1), (3; -1; 1)] = (1; -4; -7)$, $\overrightarrow{A_1A_2} = (-1; 5; -3)$. Tích vô hướng: $-1 - 20 + 21 = 0$, vậy hai dây cắt nhau, khớp với cách giải hệ.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

• Đọc sai dấu của điểm trong phương trình chính tắc: $\dfrac{x + 2}{3}$ ứng với hoành độ $-2$, không phải $2$.
• Viết phương trình chính tắc với mẫu bằng 0. Vectơ chỉ phương có toạ độ bằng 0 thì không có phương trình chính tắc.
• Thấy hai vectơ chỉ phương cùng phương là kết luận song song ngay. Phải thử thêm một điểm, vì hai đường có thể trùng nhau.
• Thấy hệ vô nghiệm là kết luận chéo nhau ngay. Hai đường song song cũng không có điểm chung; phải xét cùng phương trước.
• Dùng chung một chữ $t$ cho cả hai đường thẳng khi tìm giao điểm. Hai đường phải dùng hai tham số khác nhau ($t$ và $s$).
• Thử điểm chỉ bằng một dòng. Điểm thuộc đường thẳng khi cả ba dòng cho cùng một $t$.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng

Cách làm: tìm một điểm đường thẳng đi qua, tìm một vectơ chỉ phương, rồi viết phương trình tham số (và chính tắc, nếu có).

Bài 1. a) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua hai điểm $P(1; -2; 3)$, $Q(4; 0; -1)$.
b) Viết phương trình đường thẳng qua $K(3; 1; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$: $2x - 5z + 1 = 0$.

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(2; 0; -1)$ và song song với trục $Oy$.

Dạng 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách làm: cùng phương thì thử một điểm; không cùng phương thì giải hệ.

Bài 3. a) $d_1$: $x = 2 + t$, $y = 1 - 2t$, $z = 4t$ và $d_2$: $x = 2 + s$, $y = -4 + 3s$, $z = 2 + 2s$.
b) $d_3$: $x = 1 - 2t$, $y = 4 + t$, $z = 3t$ và $d_4$: $x = -3 + 4s$, $y = 6 - 2s$, $z = 6 - 6s$.

Bài 4. Đường thẳng $d$: $\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{-3} = \dfrac{z + 2}{6}$ có vuông góc với đường thẳng $d'$: $x = 5 + 3t$, $y = 4t$, $z = 1 + t$ không?

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: viết phương trình từng đường thẳng, xét vị trí tương đối, rồi đọc ý nghĩa.

Bài 5. Hai đội đào hầm, mỗi đơn vị là 10 m. Đội một khoan từ $O(0; 0; 0)$ theo hướng $(4; 2; 1)$. Đội hai khoan từ $B(14; 1; 0)$ theo hướng $(-2; 1; 1)$.
a) Hai mũi khoan có gặp nhau không?
b) Đội hai phải đổi sang hướng nào để gặp đội một tại điểm ứng với $t = 2$?

Chuyện bên lề

Đường hầm 2 500 năm tuổi. Thế kỉ 6 trước Công nguyên, trên đảo Samos của Hy Lạp, người ta cần đưa nước từ một con suối ở bên kia núi vào thành. Kĩ sư Eupalinos, người xứ Megara, cho đào một đường hầm dài 1 036 m xuyên qua núi đá vôi, từ cả hai đầu cùng lúc. Thợ chỉ có búa, đục và cuốc chim; thời ấy chưa có la bàn, chưa có dụng cụ trắc địa hay bản đồ địa hình.

Vậy mà hai nhánh hầm vẫn gặp nhau giữa lòng núi. Ở chỗ nối, nền hầm hai bên chỉ lệch nhau khoảng 60 cm về độ cao.

Mẹo của người xưa. Gần chỗ hẹn, Eupalinos cho cả hai nhánh cùng bẻ hướng sang một bên. Hai đường thẳng gần song song rất dễ trượt qua nhau; hai đường bẻ xiên vào nhau thì chắc chắn cắt nhau trên bản đồ. Ông cũng cho nâng trần, hạ nền ở đoạn này để chừa sai số về độ cao. Nói theo bài học hôm nay: ông cố biến "hai đường chéo nhau" thành "hai đường cắt nhau".

Sử gia Herodotus xếp đường hầm này vào ba công trình lớn nhất của người Samos. Đến nay người ta vẫn tranh luận Eupalinos đã định hướng bằng cách nào.

Ngày nay. Phim hoạt hình và trò chơi 3D dựng hình bằng cách dò tia: qua mỗi điểm ảnh trên màn hình, máy tính phóng ra một tia từ mắt người xem rồi tìm xem tia ấy gặp vật nào. Mỗi tia được viết đúng như phương trình tham số trong bài: điểm gốc + t · hướng. Một khung hình có hàng triệu điểm ảnh, tức là hàng triệu đường thẳng được tính trong chớp mắt.

Trò chơi 5 phút ở nhà

Hai que xiên và cục tẩy. Chuẩn bị hai que xiên (hoặc hai chiếc bút dài) và một cục tẩy.

1. Một người cầm hai que, người kia nhìn bằng một mắt từ phía trước và đoán: hai que có chạm nhau không? Nhìn từ một phía, hai que chéo nhau trông y như đang cắt nhau.
2. Đổi góc nhìn sang bên cạnh để kiểm tra. Nếu chúng chéo nhau, đặt cục tẩy vào khe hở giữa hai que: đó là quãng "lệch" mà hai đội đào hầm rất sợ.
3. Thử xếp cho đủ bốn trường hợp: song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau. Trường hợp nào dễ xếp nhất khi bạn nhắm mắt đặt bừa hai que? (Gần như lúc nào cũng là chéo nhau.)