Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

1. Ý chính trong một câu

Trên tia số, số nằm bên trái bao giờ cũng bé hơn. Mọi cách so sánh, "liền trước – liền sau", "bắc cầu" hay dấu ≤, ≥ đều từ ý này mà ra.

2. Tia số: bé hơn, lớn hơn

• Gốc O ứng với số 0, các điểm 1, 2, 3, … cách đều nhau về bên phải. Điểm ứng với số a gọi là điểm a.
• a < b nghĩa là điểm a nằm bên trái (nằm trước) điểm b. Cũng viết b > a.

Ví dụ 1 (xe buýt). Các trạm xe buýt đánh số 0, 1, 2, … dọc đường, xe chạy sang phải. Xe qua trạm 4 rồi mới tới trạm 11, nên 4 < 11 (hay 11 > 4).

Ví dụ 2 (bẫy nhìn chữ số). So sánh 12 và 2. Số 12 mở đầu bằng chữ số 1, nhỏ hơn 2, nhưng điểm 12 nằm xa về bên phải điểm 2, nên 12 > 2.

3. Số liền trước, số liền sau

• Số liền sau của n là n + 1; số liền trước của n (với n ≠ 0) là n − 1.
• Hai số hơn kém nhau đúng 1 là hai số tự nhiên liên tiếp.
• Số 0 không có số liền trước và là số tự nhiên nhỏ nhất.

Ví dụ 1 (đọc truyện). Bạn đang đọc trang 36: trang 37 là số liền sau, trang 35 là số liền trước. 36 và 37 là hai số liên tiếp.

Ví dụ 2. Số liền trước của 3 000 là 3 000 − 1 = 2 999, không phải 2 000 hay 3 001.

4. Tính chất bắc cầu

Nếu a < b và b < c thì a < c. (Với ≤ cũng đúng: a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.)

Ví dụ 1 (đồ uống). Trà sữa đắt hơn nước cam, nước cam đắt hơn nước lọc. Không cần biết giá, ta vẫn chắc trà sữa đắt hơn nước lọc.

Ví dụ 2. 6 < 15 và 15 < 40 nên 6 < 40: trên tia số, từ 6 đi sang phải tới 15, rồi đi tiếp sang phải tới 40.

5. So sánh hai số lớn

1. Số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.
2. Cùng số chữ số thì so từng cặp chữ số cùng hàng, từ trái sang phải; cặp khác nhau đầu tiên quyết định.

Ví dụ 1 (điểm game). Bạn được 9 870 điểm, bạn thân được 10 200 điểm. 9 870 có 4 chữ số, 10 200 có 5 chữ số, nên 9 870 < 10 200: bạn thân cao điểm hơn, dù số của bạn "toàn chữ số to".

Ví dụ 2. 81 437 và 81 529: 8 = 8, 1 = 1, rồi 4 < 5, nên 81 437 < 81 529 (đã có cặp khác nhau thì không cần xét tiếp các hàng sau).

6. Kí hiệu ≤ và ≥

• a ≤ b (đọc "a bé hơn hoặc bằng b") nghĩa là a < b hoặc a = b.
• a ≥ b (đọc "a lớn hơn hoặc bằng b") nghĩa là a > b hoặc a = b.

Ví dụ 1 (xem phim). Phim ghi "khán giả từ 13 tuổi" nghĩa là tuổi ≥ 13: bạn đúng 13 tuổi vẫn được xem, 12 tuổi thì chưa.

Ví dụ 2. {x ∈ ℕ | x < 5} = {0; 1; 2; 3; 4}, còn {x ∈ ℕ | x ≤ 5} = {0; 1; 2; 3; 4; 5}: có thêm chính số 5.

7. Bảng kí hiệu

8. Lỗi hay gặp

• So số dài bằng chữ số đầu tiên khi hai số có số chữ số khác nhau: thấy 1 < 8 rồi kết luận 12 345 < 8 950 là sai. Phải đếm chữ số trước.
• Lẫn < với ≤ khi liệt kê tập hợp: dấu < bỏ số ở đầu mút, dấu ≤ lấy cả số ở đầu mút.
• Quên ℕ* không có số 0.
• Nghĩ số 0 có số liền trước. Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất.
• Dùng ≤, ≥ để ghi kết quả so sánh hai số cụ thể. 4 ≤ 9 không sai, nhưng khi so hai số cụ thể người ta viết 4 < 9 cho rõ. Dấu ≤, ≥ thường dùng khi có chữ thay số (x ≤ 7).

9. Bài tập theo dạng

Dạng 1: So sánh, điền dấu

Bài 1. Điền dấu <, > hoặc =: a) 8 206 … 8 260 b) 12 345 … 8 950 c) (số liền trước của 7 000) … 6 999

Bài 2. Thay dấu * bằng một chữ số để có 5 3*1 > 5 389.

Dạng 2: Liền trước, liền sau và sắp xếp

Bài 3. a) Số liền sau của 2 099 là số nào? b) Xếp theo thứ tự tăng dần: 2 110; 2 099; 2 101; 2 010 và số vừa tìm ở câu a.

Bài 4. Viết ba số tự nhiên liên tiếp mà số lớn nhất là 1 000.

Dạng 3: Liệt kê tập hợp có ≤, ≥

Bài 5. Liệt kê: a) C = {x ∈ ℕ | 3 < x ≤ 7} b) D = {x ∈ ℕ* | x < 6}

Bài 6. Tập {x ∈ ℕ | 30 ≤ x ≤ 36} có bao nhiêu phần tử?

Dạng 4: Bài toán về thứ tự (bắc cầu)

Bài 7. Ba bạn chạy 100 m. Nam chạy lâu hơn Khoa, Phúc chạy nhanh hơn Khoa. Ai chạy nhanh nhất?

Bài 8. Ba toà nhà: toà Sen cao hơn toà Mai, toà Đào thấp hơn toà Mai. Viết thứ tự chiều cao bằng dấu < và cho biết toà nào thấp nhất.

10. Trò chơi ở nhà (5 phút): "Tia số trên sàn"

Dán 11 mẩu giấy ghi 0, 1, …, 10 thành một hàng trên sàn (0 ở bên trái). Một người đọc một câu như "đứng ở số liền trước của 7", "đứng ở một số x mà 4 < x ≤ 6", "số nào vừa lớn hơn 8 vừa bé hơn 10?". Người chơi nhảy tới đúng ô. Ai nhảy đúng 5 câu liên tiếp thì được làm người ra đề.