Quan hệ chia hết và tính chất

Phiếu

1. Ý chính trong một câu

Một tiệm bánh xếp bánh vào hộp 6 cái. 54 cái thì xếp vừa đủ 9 hộp, còn 58 cái thì thừa 4 cái. Toán học gọi đó là chia hết và không chia hết — và có những mẹo để biết một tổng có chia hết hay không mà không cần tính.

2. Quan hệ chia hết

Với hai số tự nhiên a, b (b ≠ 0): nếu a = b · k với k là số tự nhiên thì a chia hết cho b, viết a ⋮ b. Nếu không, viết a ⋮̸ b (a không chia hết cho b).

• Ví dụ 1 (tiệm bánh): 54 : 6 = 9 không dư → 54 ⋮ 6. 58 : 6 = 9 dư 4 → 58 ⋮̸ 6 (thừa 4 cái bánh).
• Ví dụ 2 (bẫy):
  • 0 ⋮ 7 vì 0 = 7 · 0. Số 0 chia hết cho mọi số khác 0.
  • 7 ⋮̸ 21 (7 nhỏ hơn 21, khác 0) — ngược lại mới đúng: 21 ⋮ 7. Đọc đúng chiều: số bị chia đứng trước.

3. Ước và bội

Nếu a ⋮ b thì b là ước của a, còn a là bội của b.

• Ví dụ 1: 54 ⋮ 6 → 6 là ước của 54, 54 là bội của 6.
• Ví dụ 2: 7 có phải ước của 30? 30 : 7 = 4 dư 2 → không. Nhưng 28 ⋮ 7 nên 7 là ước của 28.

4. Cách tìm ước và bội

Tìm ước của a: chia a lần lượt cho 1, 2, 3, …, a; số nào chia hết là ước.

• Ví dụ 1 (chậu hoa): xếp 18 chậu hoa thành các hàng đều nhau. Mỗi hàng có thể có bao nhiêu chậu?
  18 chia hết cho 1, 2, 3, 6, 9, 18 → Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.
  Mẹo: ước đi theo cặp 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6.

Tìm bội của b (b ≠ 0): nhân b lần lượt với 0, 1, 2, 3, …

• Ví dụ 2 (bẫy): các bội của 9 nhỏ hơn 50: 0; 9; 18; 27; 36; 45.
  Đừng quên số 0; 9 · 6 = 54 > 50 thì dừng.

5. Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1: nếu mọi số hạng đều chia hết cho m thì tổng chia hết cho m.
a ⋮ m, b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (cũng đúng với hiệu, và với tổng nhiều số hạng).

• Ví dụ 1 (túi cam): rổ 36 quả, rổ 45 quả, xếp túi 9 quả. 36 ⋮ 9, 45 ⋮ 9 → (36 + 45) ⋮ 9: gộp lại vẫn vừa đủ túi.
• Ví dụ 2: 40 + 64 − 24 có chia hết cho 8? Cả ba số đều ⋮ 8 → (40 + 64 − 24) ⋮ 8.
• Mẹo tích: một thừa số chia hết cho m thì cả tích chia hết cho m: 14 ⋮ 7 nên 14 · 5 ⋮ 7.

Tính chất 2: nếu đúng một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m, thì tổng không chia hết cho m.
a ⋮ m, b ⋮̸ m ⇒ (a + b) ⋮̸ m (cũng đúng với hiệu).

• Ví dụ 1 (vỉ trứng): giỏ 30 quả, giỏ 32 quả, xếp vỉ 10 quả. 30 ⋮ 10, 32 ⋮̸ 10 → (30 + 32) ⋮̸ 10: thừa 2 quả.
• Ví dụ 2 (bẫy): 7 ⋮̸ 6, 5 ⋮̸ 6 nhưng 7 + 5 = 12 ⋮ 6! Có từ hai số hạng không chia hết thì phải tính mới biết.

6. Lỗi hay gặp

1. Viết ngược chiều: 9 ⋮ 27 là sai (đúng là 27 ⋮ 9).
2. Quên số 0 khi liệt kê bội; hoặc lấy lố giới hạn ("nhỏ hơn 60" thì không lấy 60).
3. Thấy hai số hạng không chia hết liền kết luận tổng không chia hết — sai, phải tính.
4. Nhầm tính chất 1 và 2: tính chất 2 chỉ dùng khi đúng một số hạng không chia hết.

7. Bài tập theo dạng

Dạng 1: Điền ⋮ hoặc ⋮̸

Chia số trước cho số sau: không dư → ⋮, còn dư → ⋮̸.

Bài 1. Điền ⋮ hoặc ⋮̸: a) 63 ☐ 7 b) 74 ☐ 6 c) 9 ☐ 27

Dạng 2: Tìm ước và bội

Bài 2. a) Tìm Ư(28). b) Viết các bội của 12 nhỏ hơn 60.

Bài 3. Tìm x, biết x ∈ B(15) và 40 < x < 100.

Dạng 3: Không tính, xét tổng (hiệu) có chia hết không

Bài 4. a) 35 + 49 có chia hết cho 7? b) 50 + 36 − 18 có chia hết cho 9? c) Nam nói: 13 ⋮̸ 5, 17 ⋮̸ 5 nên (13 + 17) ⋮̸ 5. Đúng không?

Dạng 4: Tìm số chưa biết

Bài 5. a) Tìm x ∈ {15; 27; 40; 63} để (72 + x) ⋮ 9.
b) Ba khay bánh có 48 cái, 36 cái và 20 hoặc 30 cái. Đóng hộp 6 cái thì vừa hết. Khay ba có mấy cái?

Thêm bài luyện: phiếu bài tập về nhà (PDF) (10 bài, 4 dạng, có lời giải).

8. Trò chơi ở nhà (5 phút): "Xếp hộp"

Lấy một nắm hạt (đậu, kẹo, cúc áo…), đếm được bao nhiêu hạt.

1. Người kia hô một số "cỡ hộp" (2, 3, 4, 5, 6…). Bạn đoán trước: xếp vừa đủ hay thừa? rồi xếp thử thành các nhóm bằng nhau để kiểm.
2. Vòng 2: chia nắm hạt thành hai đống. Nếu cả hai đống đều xếp vừa hộp 3 thì gộp lại có vừa không? Nếu một đống thừa thì sao? Thử cả trường hợp cả hai đống đều thừa.
3. Ai đoán đúng trước khi xếp được 1 điểm.