Số nguyên tố

Câu đố mở đầu

Bạn có 15 viên kẹo. Xếp thành hình chữ nhật (nhiều hàng đều nhau) được không? Được: 3 hàng × 5 viên.
Còn 13 viên? Thử 2 hàng: thừa 1 viên. Thử 3 hàng: vẫn thừa 1 viên… 13 viên chỉ xếp được một hàng dài.
Vì sao? Vì 13 là một số nguyên tố.

1. Số nguyên tố và hợp số

Bí mật nằm ở số ước:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ 1 (đời sống). Mỗi cặp ước là một cách xếp hình chữ nhật: 15 = 3 · 5 nên xếp được 3 hàng × 5 viên (hoặc 5 hàng × 3 viên). 13 chỉ có cặp 1 · 13 nên chỉ xếp được 1 hàng.

Ví dụ 2 (bẫy). 91 là số nguyên tố hay hợp số? Trông giống số nguyên tố: không chia hết cho 2, 3, 5. Nhưng 91 = 7 · 13, nên 91 có thêm ước 7 và 13 → hợp số.

Mẹo: chỉ cần tìm được một ước khác 1 và chính nó là kết luận hợp số ngay. Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 giúp tìm nhanh.

2. Số 0, số 1 và số 2

• Số 1 chỉ có đúng một ước. Số 0 chia hết cho mọi số khác 0. Nhưng cả hai không lớn hơn 1, nên 0 và 1 không là số nguyên tố, cũng không là hợp số.
• Số 2 chỉ có ước 1 và 2 (2 viên kẹo chỉ xếp được 1 hàng) → 2 là số nguyên tố, và là số nguyên tố chẵn duy nhất (số chẵn khác luôn có thêm ước 2).
• Các số nguyên tố nhỏ hơn 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi hợp số đều viết được thành tích các thừa số nguyên tố — giống tháo một mô hình lắp ghép thành những mảnh nhỏ nhất, không tháo được nữa.

Sơ đồ cây

Ví dụ 1. 48 = 6 · 8; 6 = 2 · 3; 8 = 2 · 4; 4 = 2 · 2.

        48
       /  \
      6    8
     / \  / \
    2  3 2   4
            / \
           2   2

Gom các số ở "lá": 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2⁴ · 3.

Ví dụ 2 (bẫy). 90 = 9 · 10, 10 = 2 · 5 → viết "90 = 2 · 5 · 9" là chưa xong, vì 9 không phải số nguyên tố: 9 = 3 · 3. Vậy 90 = 2 · 3² · 5.

Sơ đồ cột

Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất mà số đó chia hết, tới khi được 1. Cột phải là các thừa số.

84 = 2² · 3 · 7 · 150 = 2 · 3 · 5².

Tách theo cách nào cũng ra cùng một kết quả, nếu viết các thừa số từ bé đến lớn và gom thừa số giống nhau thành lũy thừa. Phân tích của một số nguyên tố là chính nó (vd 13 = 13).

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

1. Cho rằng 1 là số nguyên tố (sai: 1 chỉ có một ước).
2. Cho rằng mọi số nguyên tố đều lẻ (quên số 2).
3. Thấy một số lẻ "lạ lạ" như 91, 119 là kết luận ngay số nguyên tố — phải thử chia cho 7, 11, 13…
4. Phân tích chưa hết: còn thừa số 4, 6, 9… (không phải số nguyên tố) trong kết quả.
5. Quên viết gọn bằng lũy thừa hoặc không xếp thừa số từ bé đến lớn.

Bài tập

Dạng 1: Nhận biết số nguyên tố, hợp số

Cách làm: dùng dấu hiệu chia hết, hoặc thử chia cho 2, 3, 5, 7… Tìm được một ước khác 1 và chính nó → hợp số; không tìm được → tra bảng số nguyên tố.

Bài 1. Mỗi số sau là số nguyên tố hay hợp số? a) 59 · b) 2 045 · c) 119

Bài 2. Đúng hay sai? a) Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số. b) Số 0 là hợp số vì có vô số ước.

Dạng 2: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Cách làm: chia dần cho số nguyên tố nhỏ nhất (sơ đồ cột) hoặc tách dần thành tích (sơ đồ cây) → dừng khi mọi thừa số đều là số nguyên tố → viết từ bé đến lớn, gom bằng lũy thừa.

Bài 3. a) Phân tích 56 bằng sơ đồ cột. b) Bạn Hoa viết 72 = 2 · 4 · 9. Đúng hay sai? c) Phân tích 300 bằng sơ đồ cây.

Dạng 3: Vận dụng

Cách làm: xếp đều thành hàng, chia đều thành nhóm = tìm ước. Số nguyên tố chỉ có một cách (1 hàng). Nhớ 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Bài 4. Bác Tư trồng cây thành các hàng đều nhau, mỗi hàng nhiều hơn 1 cây, ít nhất 2 hàng. a) Có 47 cây thì trồng được không? b) Có 28 cây thì có mấy cách?

Bài 5 (thử thách). Tìm hai số nguyên tố có tổng bằng 15.

Thêm 9 bài (3 dạng) có dòng để làm và lời giải: bài tập về nhà (PDF).

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Kẹo có xếp được không?"

Chuẩn bị một nắm kẹo (hoặc hạt đậu, nắp chai). Một người đọc một số từ 2 đến 30, người kia đếm đúng số kẹo đó và thử xếp thành hình chữ nhật có ít nhất 2 hàng.

• Xếp được → hô "Hợp số!" và nói phép nhân (vd 20 = 4 · 5).
• Chỉ xếp được 1 hàng → hô "Nguyên tố!".
  Đổi vai sau 5 lượt; ai đoán đúng trước khi xếp được 1 điểm. Vòng thưởng: đọc số 1 — xếp được gì không? (Không có hình nào: 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số.)