anim.vn

Toán lớp 8 · Bài 10 · 8 phút

Tứ giác

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

  1. Mở đầu
  2. Tứ giác là gì
  3. Tứ giác lồi
  4. Đỉnh, cạnh, góc, đường chéo
  5. Tổng các góc bằng 360°
  6. Hai ví dụ tính góc
  7. Tóm tắt
  8. Dạng 1: Nhận biết và gọi tên
  9. Dạng 2: Tính góc chưa biết
  10. Dạng 3: Thực tế và góc ngoài
  11. Kết bài

Khung tranh treo lệch, mái nhà nhìn nghiêng, một thửa ruộng méo mó: hình dạng khác hẳn nhau nhưng đều có 4 cạnh, 4 góc. Và nếu đo 4 góc rồi cộng lại, hình nào cũng ra cùng một con số. Bài này giúp bạn hiểu vì sao.

1. Tứ giác là gì?

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng.

  • Ví dụ 1 (que tính): lấy 4 que tính, nối đầu que này vào đuôi que kia thành một vòng khép kín → được một tứ giác.
  • Ví dụ 2 (bẫy): "duỗi thẳng" hai que AB và BC cho nằm trên cùng một đường thẳng. Vẫn còn 4 điểm A, B, C, D, nhưng hình chỉ còn là tam giác ACD → không phải tứ giác.

Gọi tên: đọc các đỉnh theo thứ tự đi vòng quanh các cạnh, bắt đầu từ đỉnh nào, đi chiều nào cũng được.
Tứ giác ABCD còn gọi là BCDA, CDAB, DABC, DCBA, … Nhưng ACBD là sai, vì A và C không nối với nhau bằng một cạnh.

2. Tứ giác lồi

Tứ giác lồi là tứ giác mà kéo dài bất kì cạnh nào thành đường thẳng thì hai đỉnh còn lại luôn nằm cùng một phía của đường thẳng đó.

  • Ví dụ 1: mặt bàn học, viên gạch lát nền, trang vở… Kéo dài lần lượt 4 cạnh, lần nào hai đỉnh kia cũng cùng phía → tứ giác lồi.
  • Ví dụ 2: hình "đầu mũi tên" (có một đỉnh lõm vào trong). Kéo dài một cạnh ở chỗ lõm, hai đỉnh còn lại nằm hai bên → không lồi.

Mẹo kiểm tra nhanh: tứ giác lồi có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường. Hình đầu mũi tên thì hai đường chéo không cắt nhau.

Quy ước: từ nay nói "tứ giác" mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

3. Đỉnh, cạnh, góc, đường chéo

Với tứ giác (lồi) ABCD:

Yếu tốLà gìTrong tứ giác ABCD
Đỉnh4 điểmA, B, C, D
Cạnh4 đoạn thẳngAB, BC, CD, DA
Gócgóc ABC, BCD, CDA, DABviết gọn B^,C^,D^,A^\hat B, \hat C, \hat D, \hat A
Hai đỉnh đối nhaukhông cùng thuộc một cạnhA và C; B và D
Đường chéođoạn nối hai đỉnh đối nhauAC, BD
Hai cạnh đốikhông chung đỉnhAB và CD; BC và DA
Hai cạnh kềchung một đỉnhAB và BC; BC và CD; …
Hai góc đốiở hai đỉnh đối nhauA^\hat A và C^\hat C; B^\hat B và D^\hat D
  • Ví dụ 1 (khu vườn): khu vườn có 4 cọc ở 4 góc. Hai cọc không cùng một hàng rào là hai đỉnh đối nhau; lối đi tắt nối chúng là một đường chéo.
  • Ví dụ 2: trong tứ giác ABCD, AC là đường chéo, không phải cạnh; AB và CD là cạnh đối, AB và BC là cạnh kề.

4. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°

Định lí: A^+B^+C^+D^=360∘\hat A + \hat B + \hat C + \hat D = 360^\circ.

Vì sao? Kẻ đường chéo AC, tứ giác chia thành hai tam giác ABC và ADC. Sáu góc của hai tam giác gộp lại vừa đúng bốn góc của tứ giác (góc A và góc C bị đường chéo chia làm hai phần). Mỗi tam giác có tổng ba góc 180°, nên tổng bốn góc là 180∘+180∘=360∘180^\circ + 180^\circ = 360^\circ.

  • Ví dụ 1 (viên gạch): viên gạch hình tứ giác có bốn góc 75°, 105°, 68°, 112°. Cộng lại: 75+105+68+112=36075 + 105 + 68 + 112 = 360 ✓.
  • Ví dụ 2: tứ giác có ba góc 95°, 145°, 75°. Góc còn lại =360∘−315∘=45∘= 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ.

Lỗi hay gặp

  1. Gọi tên nhảy qua đường chéo: viết tứ giác MNPQ thành "MPNQ". Tên phải đi vòng theo cạnh: MNPQ, NPQM, QPNM, …
  2. Tưởng 4 điểm nối lại luôn là tứ giác: nếu ba điểm thẳng hàng thì hai đoạn nằm trên một đường thẳng → chỉ là tam giác.
  3. Quên chia đôi: biết B^=D^\hat B = \hat D và B^+D^=150∘\hat B + \hat D = 150^\circ thì mỗi góc là 75°, không phải 150°.
  4. Nhầm góc ngoài với góc trong: góc ngoài tại một đỉnh cộng góc trong tại đỉnh đó bằng 180°. Phải đổi ra góc trong rồi mới dùng tổng 360°.
  5. Quên góc vuông là 90°: kí hiệu ô vuông nhỏ ở góc nghĩa là góc đó bằng 90°, phải cộng vào.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết và gọi tên

Cách làm: kéo dài từng cạnh để xét lồi hay không; gọi tên thì đi vòng theo các cạnh; đường chéo nối hai đỉnh đối nhau.

Bài 1. Có ba hình, mỗi hình nối bốn điểm: Hình 1 có ba điểm thẳng hàng, Hình 2 là "đầu mũi tên" (lõm), Hình 3 là tứ giác MNPQ.

a) Hình nào là tứ giác lồi?
b) Kể tên hai đường chéo của tứ giác MNPQ.
c) Bạn Lan nói tứ giác MNPQ còn có tên là MPNQ. Đúng hay sai?

Đáp án

a) Hình 3. (Hình 1 không phải tứ giác vì có ba điểm thẳng hàng; Hình 2 là tứ giác nhưng không lồi.)
b) MP và NQ.
c) Sai. Đi từ M sang P là đi theo đường chéo. Tên đúng, ví dụ: QPNM, NPQM.

Bài 2. Tứ giác HIKL. Kể tên: các cặp cạnh đối, các cặp góc đối, hai cạnh kề với cạnh IK.

Đáp án

Cạnh đối: HI và KL; IK và LH. Góc đối: H^\hat H và K^\hat K; I^\hat I và L^\hat L. Hai cạnh kề với IK: HI và KL.

Dạng 2. Tính góc chưa biết

Cách làm: góc cần tìm = 360° − tổng các góc đã biết. Góc bằng nhau hay gấp nhau thì gộp lại thành "phần" rồi chia.

Bài 3. Tứ giác ABCD.

a) A^=95∘\hat A = 95^\circ, B^=115∘\hat B = 115^\circ, C^=85∘\hat C = 85^\circ. Tính D^\hat D.
b) A^=66∘\hat A = 66^\circ, C^=144∘\hat C = 144^\circ, B^=D^\hat B = \hat D. Tính B^\hat B.
c) B^\hat B gấp 2, C^\hat C gấp 3, D^\hat D gấp 4 lần A^\hat A. Tính bốn góc.

Đáp án

a) 95+115+85=29595 + 115 + 85 = 295; D^=360∘−295∘=65∘\hat D = 360^\circ - 295^\circ = 65^\circ.
b) B^+D^=360∘−210∘=150∘\hat B + \hat D = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ, nên B^=D^=75∘\hat B = \hat D = 75^\circ (đừng dừng ở 150°!).
c) 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 phần; 1 phần =36∘= 36^\circ. Vậy A^=36∘\hat A = 36^\circ, B^=72∘\hat B = 72^\circ, C^=108∘\hat C = 108^\circ, D^=144∘\hat D = 144^\circ.

Dạng 3. Bài toán thực tế và góc ngoài

Cách làm: vẽ hình, ghi số đo lên hình; đổi góc ngoài thành góc trong (góc trong = 180° − góc ngoài); dùng tổng bốn góc trong bằng 360°.

Bài 4.

a) Bạn Minh đo bốn góc một tấm bìa tứ giác được 95°, 88°, 102°, 85°. Minh đo đúng không?
b) Tấm biển ABCD có A^=105∘\hat A = 105^\circ, B^=85∘\hat B = 85^\circ; kéo dài cạnh DC, góc ngoài tại C bằng 48°. Tính D^\hat D.
c) Ở mỗi đỉnh của một tứ giác lấy một góc ngoài. Tổng bốn góc ngoài bằng bao nhiêu?

Đáp án

a) 95+88+102+85=370≠36095 + 88 + 102 + 85 = 370 \ne 360 → Minh đã đo sai ít nhất một góc.
b) C^=180∘−48∘=132∘\hat C = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ; D^=360∘−(105∘+85∘+132∘)=38∘\hat D = 360^\circ - (105^\circ + 85^\circ + 132^\circ) = 38^\circ. (Nếu lấy nhầm 48° làm C^\hat C sẽ ra 122°, sai.)
c) Mỗi đỉnh: góc ngoài + góc trong = 180°. Bốn đỉnh: 4⋅180∘=720∘4 \cdot 180^\circ = 720^\circ. Trừ tổng bốn góc trong: 720∘−360∘=360∘720^\circ - 360^\circ = 360^\circ.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Xé góc"

  1. Cắt một tứ giác bất kì từ giấy nháp (càng méo càng vui), tô màu bốn góc.
  2. Xé rời bốn góc, đặt đỉnh của chúng chụm vào một điểm, các mép giấy khít nhau.
  3. Bốn góc ghép lại vừa kín một vòng quanh điểm đó, tức là 360°.
  4. Đổi vai: một người cắt tứ giác và đo 3 góc bằng thước đo góc, người kia đoán góc thứ tư bằng phép trừ rồi đo lại để kiểm tra.