Hình thang cân

Phiếu

1. Ý chính trong một câu

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Khi đó nó có hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau. Muốn nhận ra nó: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, hoặc hình thang có hai đường chéo bằng nhau. Còn hai cạnh bên bằng nhau thì chưa đủ.

2. Hình thang

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel DC$): $AB$, $DC$ là hai đáy (đáy nhỏ, đáy lớn); $AD$, $BC$ là hai cạnh bên; đoạn $AH$ vuông góc với $DC$ là một đường cao.
• Vì hai đáy song song, hai góc kề một cạnh bên bù nhau: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$, $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Ví dụ 1 (con kênh): mặt cắt ngang một con kênh là hình thang: miệng kênh và đáy kênh song song.
Ví dụ 2 (bẫy: dựng đứng): xoay hình thang cho hai đáy nằm dọc, nó vẫn là hình thang. "Đáy" là hai cạnh song song, không phải "cạnh nằm dưới".
Tính nhanh: hình thang có $\widehat{D} = 70^\circ$ thì $\widehat{A} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

3. Hình thang cân là gì?

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Khi đó hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.

Ví dụ 1 (chụp đèn bàn): nhìn nghiêng, chụp đèn là hình thang có hai góc ở đáy lớn cùng $68^\circ$ → hình thang cân; hai góc ở đáy nhỏ cùng $180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.
Ví dụ 2 (bẫy: trông cân mà không cân): hình thang có hai góc ở đáy lớn là $75^\circ$ và $62^\circ$. Nhìn qua thấy "khá cân" nhưng hai góc khác nhau → không phải hình thang cân. Hãy xét góc, đừng nhìn bằng mắt.

4. Tính chất: cạnh bên và đường chéo

• Định lí 1: trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau: $AD = BC$.
• Định lí 2: trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$.
  Vì sao? $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$ có $AD = BC$, $\widehat{D} = \widehat{C}$, cạnh $DC$ chung nên bằng nhau (c.g.c), suy ra $AC = BD$.

Ví dụ 1: hình thang cân $ABCD$ có $AD = 6$ cm thì $BC = 6$ cm; nếu $AC = 9$ cm thì $BD = 9$ cm.
Ví dụ 2 (bẫy): hình bình hành $ABCD$ cũng là hình thang ($AB \parallel DC$) và có $AD = BC$. Nhưng hai góc kề đáy $DC$ một nhọn, một tù → không phải hình thang cân. Vậy: hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân.

5. Dấu hiệu nhận biết

Một hình thang là hình thang cân nếu:

1. có hai góc kề một đáy bằng nhau (định nghĩa), hoặc
2. có hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 1 (khung gỗ): bác thợ đóng khung gỗ hình thang, căng dây đo hai đường chéo thấy cùng $72$ cm → khung là hình thang cân, không cần đo góc.
Ví dụ 2 (bẫy): một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau nhưng không có cặp cạnh nào song song → không phải hình thang, nên cũng không phải hình thang cân. Phải là hình thang trước đã.

6. Bảng kí hiệu

7. Lỗi hay gặp

• Thấy hai cạnh bên bằng nhau là kết luận thang cân: sai, có thể là hình bình hành. Phải có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau.
• Nhầm "góc đối bằng nhau" như hình bình hành: trong hình thang cân, góc bằng nhau là hai góc kề cùng một đáy; hai góc kề cùng một cạnh bên thì bù nhau.
• Quên điều kiện "là hình thang": tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình thang.
• Nhìn hình bằng mắt: hình "trông cân" chưa chắc cân; phải dựa vào số đo góc hoặc độ dài đường chéo.
• Tính chu vi thiếu cạnh hoặc cộng cả đường chéo: chu vi là tổng 4 cạnh, không có đường chéo.

8. Bài tập theo dạng

Dạng 1 · Tính góc

Bài 1. a) Hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel DC$) có $\widehat{D} = 65^\circ$. Tính các góc còn lại. · b) Hình thang cân $MNPQ$ ($MN \parallel PQ$) có $\widehat{M} = 104^\circ$. Tính $\widehat{P}$. · c) Một hình thang cân có góc tù lớn hơn góc nhọn $36^\circ$. Tính hai góc đó.

Dạng 2 · Tính cạnh và đường chéo

Bài 2. Hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel DC$) có $AB = 9$ cm, $DC = 21$ cm, $AD = 10$ cm, $AC = 17$ cm. a) Tính $BC$. · b) Tính $BD$. · c) Tính chu vi $ABCD$.

Bài 3 (thêm). Một hình thang cân có chu vi $45$ cm, hai đáy $8$ cm và $19$ cm. Tính mỗi cạnh bên.

Dạng 3 · Nhận biết hình thang cân

Bài 4. a) Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel DC$) có $\widehat{C} = \widehat{D} = 58^\circ$. Có phải hình thang cân? · b) Hình thang $MNPQ$ ($MN \parallel PQ$) có $MQ = NP$. Có chắc là hình thang cân? · c) Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel DC$) có $AC = BD$, $\widehat{A} = 106^\circ$. Tính $\widehat{B}$, $\widehat{D}$.

9. Trò chơi ở nhà (5 phút): "Sợi dây thám tử"

Cần: 4 que (tăm dài, que kem) và 2 sợi chỉ. Một người xếp 4 que thành một hình thang có hai que song song (có thể xếp cân hoặc lệch), người kia chỉ được dùng 2 sợi chỉ để kiểm tra: căng chỉ theo hai đường chéo rồi so độ dài. Hai sợi chỉ dài bằng nhau → hô "thang cân!". Sau đó lấy thước đo góc kiểm tra lại hai góc kề đáy. Đoán đúng được 1 điểm. Thử thêm "bẫy": xếp hình bình hành, hai cạnh bên vẫn bằng nhau nhưng hai sợi chỉ dài khác nhau!