Hình bình hành

Mở một hộp đồ nghề nhiều tầng: khay trượt ra mà vẫn nằm ngang, ốc vít không đổ. Bí mật là bốn thanh nối luôn tạo thành một hình bình hành. Bài này giúp bạn biết hình bình hành là gì, nó có những tính chất nào và làm sao chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB ∥ DC và AD ∥ BC.

Định nghĩa chỉ nói tới song song, chưa cần đo cạnh hay đo góc.

• Ví dụ 1 (hộp đồ nghề): thanh đỡ khay luôn song song với đáy hộp, hai tay đòn luôn song song với nhau. Bốn thanh luôn là một hình bình hành, nên tay đòn nghiêng thế nào thì cạnh trên (khay) vẫn song song với cạnh dưới (đáy hộp), tức là vẫn nằm ngang.
• Ví dụ 2 (lưới ô vuông): A(1; 0), B(5; 1), C(6; 4), D(2; 3). Từ A tới B: sang phải 4 ô, lên 1 ô; từ D tới C cũng sang 4, lên 1 → AB ∥ DC. Từ A tới D và từ B tới C đều sang 1, lên 3 → AD ∥ BC. Vậy ABCD là hình bình hành.

2. Tính chất

Kẻ đường chéo AC, hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau (ABC và CDA). Từ đó:

Trong hình bình hành ABCD (O là giao điểm hai đường chéo):

1. Các cạnh đối bằng nhau: AB = CD, AD = BC.
2. Các góc đối bằng nhau: góc A = góc C, góc B = góc D.
3. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA = OC, OB = OD.

Thêm: hai góc kề một cạnh bù nhau (cộng lại bằng 180°), ví dụ góc A + góc B = 180°.

• Ví dụ 1 (mảnh vườn): vườn hình bình hành có hai cạnh 30 m và 18 m. Cạnh đối bằng nhau nên hàng rào quanh vườn dài (30 + 18) × 2 = 96 m. Một góc vườn bằng 58° thì góc đối diện cũng 58°, hai góc còn lại bằng 180° − 58° = 122°.
• Ví dụ 2 (đường chéo): AC = 12 cm, BD = 9 cm cắt nhau tại O. Khi đó OA = OC = 6 cm, OB = OD = 4,5 cm. Chú ý OA ≠ OB: hai đường chéo của hình bình hành thường không bằng nhau (chỉ bằng nhau khi là hình chữ nhật).

3. Dấu hiệu nhận biết

Một tứ giác là hình bình hành nếu có một trong các điều sau:

• Ví dụ 1 (hai que tre): buộc hai que tre chéo nhau đúng tại điểm giữa của mỗi que, căng dây nối bốn đầu. Hai que là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên khung dây là hình bình hành — dù hai que dài ngắn khác nhau.
• Ví dụ 2 (bẫy): tứ giác ABCD có AB ∥ DC và AD = BC. Chưa chắc là hình bình hành! Hình thang cân cũng có đúng hai điều đó. Dấu hiệu 2 đòi hỏi song song và bằng nhau trên cùng một cặp cạnh; ở đây cặp song song (AB, DC) và cặp bằng nhau (AD, BC) là hai cặp khác nhau.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nghĩ hai đường chéo bằng nhau. Chỉ có trung điểm chung; độ dài hai đường chéo thường khác nhau (OA ≠ OB).
2. Trộn hai cặp cạnh khi dùng dấu hiệu 2. "Một cặp song song + cặp kia bằng nhau" có thể là hình thang cân.
3. Tính chu vi quên có hai cặp cạnh. Chu vi = 2 × (AB + BC), nên AB + BC = nửa chu vi.
4. Nhìn hình thấy "giống" rồi kết luận. Muốn chắc chắn phải chỉ ra một dấu hiệu (có số đo, có kí hiệu, có lập luận).
5. Nhầm góc kề với góc đối. Góc đối (A và C) bằng nhau; góc kề một cạnh (A và B) bù nhau.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính cạnh, góc

Cách làm: cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, hai góc kề một cạnh bù nhau; chu vi = 2 × (tổng hai cạnh kề).

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD (mỗi câu một hình riêng).
a) Góc A = 72°. Tính các góc còn lại.
b) Chu vi bằng 46 cm, AB = 14 cm. Tính BC.
c) Góc A lớn hơn góc B là 50°. Tính góc A và góc B.

Bài 2 (thêm). Hình bình hành EFGH có góc E gấp 4 lần góc F. Tính bốn góc.

Dạng 2: Đường chéo, trung điểm

Cách làm: O là trung điểm của mỗi đường chéo; mỗi đoạn từ O bằng nửa đường chéo; hai đường chéo thường không bằng nhau.

Bài 3. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.
a) OA = 5 cm, OB = 3,5 cm. Tính AC và BD.
b) AC = 16 cm, BD = 12 cm, AB = 9 cm. Tính chu vi tam giác OCD.

Dạng 3: Chứng minh là hình bình hành

Cách làm: đề cho gì về cạnh, góc hay đường chéo? Chọn dấu hiệu khớp với dữ kiện đó. Song song + bằng nhau phải trên cùng một cặp cạnh.

Bài 4.
a) Tứ giác ABCD có góc A = 118°, góc B = 62°, góc C = 118°. ABCD có là hình bình hành không?
b) Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên AC lấy I, K sao cho AI = CK. Chứng minh BIDK là hình bình hành.
c) Hình bình hành ABCD. Kéo dài AB về phía B, lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh BECD là hình bình hành.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Khung que chéo"

Cần: 2 que (đũa, bút chì, que kem) dài khác nhau, 1 sợi dây chun hoặc dây len.

1. Đặt hai que chéo nhau sao cho điểm giữa của hai que trùng nhau, căng dây nối bốn đầu que → được hình bình hành. Dùng thước đo: hai cạnh đối có bằng nhau không?
2. Dịch một que để điểm chéo không còn ở giữa que đó → khung dây có còn là hình bình hành không? (Đo lại các cạnh đối.)
3. Xoay góc giữa hai que: khi nào khung dây thành hình chữ nhật? (Gợi ý: khi hai que dài bằng nhau.)