Hình chữ nhật

Bạn cần kẻ một sân cầu lông mà chỉ có bốn cái cọc và một cuộn thước dây, không có dụng cụ đo góc. Làm sao chắc bốn góc sân đều vuông? Câu trả lời nằm ở hai đường chéo của hình chữ nhật. Bài này giúp bạn biết hình chữ nhật là gì, đường chéo của nó có gì đặc biệt, và làm sao nhận ra một hình chữ nhật.

1. Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi góc A = góc B = góc C = góc D = 90°.

Thật ra chỉ cần ba góc vuông: tổng bốn góc của tứ giác là 360°, nên góc còn lại bằng 360° − 270° = 90°.

• Ví dụ 1 (cánh tủ): bác thợ mộc đóng cánh tủ, đo thấy ba góc vuông. Góc thứ tư chắc chắn vuông, không cần đo nữa.
• Ví dụ 2 (bẫy): tứ giác có hai góc vuông thì chưa đủ. Hình thang vuông có hai góc vuông nhưng không phải hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có các cạnh đối song song (hai cạnh cùng vuông góc với một cạnh thì song song), nên nó là một hình bình hành. Nó cũng có hai góc kề một đáy bằng nhau, nên là một hình thang cân. Vì vậy hình chữ nhật có mọi tính chất của hình bình hành và của hình thang cân.

2. Tính chất đường chéo

• Từ hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Từ hình thang cân: hai đường chéo bằng nhau.

Định lí. Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD: AC = BD và OA = OB = OC = OD = nửa đường chéo.

• Ví dụ 1 (đồng hồ trên tường): muốn treo đồng hồ đúng tâm một bức tường hình chữ nhật, căng hai sợi dây nối các góc đối diện. Chỗ hai dây cắt nhau là tâm, cách đều bốn góc. Mỗi dây dài 5 m thì tâm cách mỗi góc 5 : 2 = 2,5 m.
• Ví dụ 2 (bẫy): hình chữ nhật ABCD có OA = 7 cm. Ở hình bình hành ta không tính được BD từ OA, nhưng ở hình chữ nhật thì được: AC = 2 · 7 = 14 cm, và BD = AC = 14 cm.

3. Trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh huyền BC. Lấy D sao cho M là trung điểm của AD. Tứ giác ABDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, lại có góc A vuông nên là hình chữ nhật. Vậy AD = BC, tức là AM = BC : 2.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Ngược lại: tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì là tam giác vuông.

• Ví dụ 1 (chiếc thang): thang dài 4 m tựa tường rồi trượt dần xuống. Thang, tường và mặt đất luôn tạo thành tam giác vuông, nên điểm giữa thang luôn cách chân tường đúng 4 : 2 = 2 m (điểm giữa thang vẽ ra một cung tròn).
• Ví dụ 2: tam giác vuông có cạnh huyền 18 cm thì trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông dài 9 cm. Chú ý: chỉ trung tuyến ứng với cạnh huyền mới bằng nửa cạnh huyền.

4. Dấu hiệu nhận biết

• Ví dụ 1 (sân cầu lông): đóng bốn cọc sao cho hai cặp cạnh đối bằng nhau → được hình bình hành. Đo hai đường chéo bằng thước dây: nếu bằng nhau thì sân là hình chữ nhật (dấu hiệu 3), không cần đo góc.
• Ví dụ 2 (bẫy): tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình chữ nhật. Hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau, nhưng chúng không cắt nhau tại trung điểm. Phải có thêm điều kiện "cắt nhau tại trung điểm mỗi đường" (dấu hiệu 4).

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Thấy hai đường chéo bằng nhau là kết luận hình chữ nhật. Thiếu điều kiện: phải là hình bình hành (hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
2. Hai góc vuông đã vội kết luận. Cần ba góc vuông, hoặc hình bình hành có một góc vuông.
3. Nghĩ "không tính được" đường chéo kia. Trong hình chữ nhật, biết một đoạn OA, OB, OC hay OD là biết cả hai đường chéo.
4. Biết trung tuyến lại chia đôi để ra cạnh huyền. Ngược lại mới đúng: cạnh huyền = 2 · trung tuyến.
5. Dùng tính chất trung tuyến cho trung tuyến không ứng với cạnh huyền. Chỉ trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông mới bằng nửa cạnh huyền.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính độ dài

Cách làm: AC = BD; OA = OB = OC = OD = nửa đường chéo.

Bài 1. Hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O (mỗi câu một hình riêng).
a) AC = 11 cm. Tính BD và OD.
b) OB = 4,5 cm. Tính AC.
c) Góc AOB = 60°, AB = 4 cm. Tính AC.

Bài 2. Hình chữ nhật EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại K, tam giác KEF có chu vi 20 cm và EF = 6 cm. Tính EG.

Dạng 2: Chứng minh là hình chữ nhật

Cách làm: chứng minh là hình bình hành trước → thêm một góc vuông, hoặc hai đường chéo bằng nhau. Chỉ có hai đường chéo bằng nhau thì CHƯA đủ.

Bài 3. Tứ giác ABCD có là hình chữ nhật không? Vì sao?
a) ABCD là hình bình hành, góc A + góc C = 180°.
b) ABCD là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại O, OA = OB.
c) AC = BD = 10 cm, hai đường chéo cắt nhau tại I, IA = 6 cm.

Dạng 3: Trung tuyến trong tam giác vuông

Cách làm: tìm cạnh huyền; trung tuyến ứng với cạnh huyền = cạnh huyền : 2; biết trung tuyến thì cạnh huyền = 2 · trung tuyến.

Bài 4.
a) Tam giác ABC vuông tại A, AB = 9 cm, BC = 15 cm, M là trung điểm BC. Tính AM và chu vi tam giác ABM.
b) Tam giác MNP vuông tại M, trung tuyến MI = 6,5 cm. Tính NP.
c) Tam giác ABC có trung tuyến AM = 5 cm, BC = 10 cm. Tam giác ABC là tam giác gì?

Bài 5 (vận dụng). Một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật có đường chéo dài 3 m. Người ta gắn một bóng đèn đúng tâm tấm biển (giao điểm hai đường chéo) rồi kéo dây điện thẳng từ đèn tới một góc biển. Đoạn dây đó dài bao nhiêu? Kéo tới góc khác thì sao?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Thám tử góc vuông"

Cần: một sợi len dài, một cái kẹp.

1. Chọn 3 đồ vật trông giống hình chữ nhật: khung ảnh, tấm thảm, viên gạch lát sàn…
2. Căng sợi len theo một đường chéo, kẹp đánh dấu độ dài. Đưa sang đường chéo kia: có vừa khít không?
3. Kiểm thêm hai cặp cạnh đối có bằng nhau không (cũng bằng sợi len).
4. Cạnh đối bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau → đồ vật đó là hình chữ nhật thật. Lệch → "bắt được" một hình méo!

Thử thách: kéo nghiêng một khung ảnh gấp (loại có bản lề) và xem hai đường chéo thay đổi thế nào.