Hình thoi và hình vuông

Lấy bốn thanh gỗ dài bằng nhau, nối bản lề thành một cái khung. Bóp méo khung kiểu gì, nó vẫn là một hình rất đặc biệt: hình thoi. Và có đúng một lúc, nó thành hình vuông. Lúc nào vậy? Bài này giúp bạn biết hình thoi, hình vuông là gì, hai đường chéo của chúng có gì đặc biệt, và làm sao nhận ra chúng.

1. Hình thoi và tính chất

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi có các cạnh đối bằng nhau nên là một hình bình hành: nó có mọi tính chất của hình bình hành (cạnh đối song song, góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Định lí. Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc.

(Vì sao? Hình thoi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Tam giác $ABD$ cân tại $A$ có $AO$ là trung tuyến, nên $AO$ cũng là đường cao và phân giác.)

• Ví dụ 1 (cổng xếp): cổng xếp ghép từ nhiều ô hình thoi. Kéo cổng ra hay khép lại, các ô méo đi nhưng hai đường chéo mỗi ô vẫn luôn vuông góc.
• Ví dụ 2: hình thoi $ABCD$ có góc $A = 70°$. Đường chéo $AC$ chia đôi góc $A$ nên góc $BAC = 35°$. Hai đường chéo vuông góc tại $O$, tam giác $ABO$ vuông tại $O$, nên góc $ABD = 90° − 35° = 55°$.

2. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

• Ví dụ 1 (gấp giấy): cắt một hình bình hành bằng giấy, gấp theo một đường chéo. Nếu hai nửa trùng khít thì đường chéo chia đôi góc (là phân giác), nên đó là hình thoi.
• Ví dụ 2 (bẫy — con diều): con diều có hai đường chéo vuông góc, nhưng nó không phải hình bình hành (hai đường chéo không cắt nhau tại trung điểm), nên không phải hình thoi. Dấu hiệu 2 và 3 chỉ dùng được khi đã là hình bình hành.

3. Hình vuông và tính chất

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi, nên có mọi tính chất của cả hai. Đặc biệt:

Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là phân giác của các góc.

• Ví dụ 1 (khăn vuông): gấp chéo một chiếc khăn vuông, hai mép trùng khít: mỗi góc vuông bị đường chéo chia thành hai góc $45°$.
• Ví dụ 2: hình vuông có đường chéo $12$ cm, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Khi đó $OA = OB = OC = OD = 6$ cm, và tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ (góc $OAB = 45°$).

4. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

• Ví dụ 1 (khung bốn thanh): khung bốn thanh bằng nhau luôn là hình thoi. Xoay tới lúc hai đường chéo dài bằng nhau thì nó là hình vuông — đó là câu trả lời cho câu hỏi mở đầu.
• Ví dụ 2: mảnh vườn hình chữ nhật dài $8$ m, rộng $8$ m có hai cạnh kề bằng nhau, nên là hình vuông.

Sơ đồ nhớ: hình bình hành → (hình chữ nhật hoặc hình thoi) → hình vuông.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

1. Thấy hai đường chéo vuông góc là kết luận hình thoi — chưa đủ, phải là hình bình hành trước (con diều!).
2. Nhầm góc được chia đôi. Trong hình thoi $ABCD$, đường chéo $AC$ chia đôi góc $A$ (và góc $C$), không chia đôi góc $B$. Muốn tính góc $BAC$ phải tìm góc $BAD$ trước.
3. Chỉ đo bốn cạnh bằng nhau là nói hình vuông — mới là hình thoi; cần thêm một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
4. Dồn dập nhiều tính chất, dễ lẫn. Mẹo: xếp theo ba cột cạnh – góc – đường chéo như bảng tóm tắt, và luôn vẽ phác hình trước khi lập luận.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính độ dài và góc

Cách làm: cạnh hình thoi = chu vi : 4; giao điểm hai đường chéo chia mỗi đường chéo làm đôi; hai góc kề một cạnh có tổng 180°; đường chéo chia đôi góc.

Bài 1. Hình thoi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$ (mỗi câu là một hình riêng).
a) Chu vi $44$ cm, $AC = 14$ cm. Tính $AB$ và $OA$.
b) Góc $ABC = 116°$. Tính góc $BAC$.

Bài 2. Hình thoi $ABCD$ có cạnh $9$ cm và góc $B = 120°$. Tính đường chéo $BD$.

Dạng 2: Chứng minh là hình thoi

Cách làm: chứng minh hình bình hành trước, rồi thêm một dấu hiệu (hai cạnh kề bằng nhau, hai đường chéo vuông góc, hoặc một đường chéo là phân giác).

Bài 3. a) Hình bình hành $ABCD$ có góc $BAC$ = góc $BCA$. Chứng minh $ABCD$ là hình thoi.
b) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc tại $O$, $OA = OC = 3$ cm, $OB = OD = 5$ cm. $ABCD$ là hình gì?

Dạng 3: Chứng minh là hình vuông

Cách làm: chứng minh hình chữ nhật hoặc hình thoi trước, rồi thêm một dấu hiệu nữa.

Bài 4. a) Hình thoi $ABCD$ có góc $A$ = góc $B$. Chứng minh $ABCD$ là hình vuông.
b) Hình chữ nhật $ABCD$ có góc $BAC = 45°$. $ABCD$ có là hình vuông không?

Bài 5 (vận dụng). Bác thợ kiểm tra một tấm kính: đo bốn cạnh đều $50$ cm. Như vậy đã chắc là hình vuông chưa? Cần đo thêm gì?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Khung bốn que"

Lấy bốn que (đũa, ống hút cắt bằng nhau) và bốn cục đất nặn làm bản lề, ghép thành khung.

1. Bóp méo khung: người chơi kia phải nói ngay "vẫn là hình thoi!".
2. Dùng sợi chỉ đo hai đường chéo. Ai chỉnh khung tới lúc hai sợi chỉ dài bằng nhau trước thì thắng — lúc đó khung là hình vuông (kiểm tra góc bằng mép một tờ giấy).
3. Đổi lại: thay một que bằng que dài hơn — khung còn là hình thoi không? (Không: bốn cạnh không còn bằng nhau.)