Định lí Thalès trong tam giác

Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác sẽ "cắt" hai cạnh kia theo cùng một tỉ lệ. Nhờ vậy, biết ba đoạn là tính được đoạn thứ tư — không cần đo.

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng, đo theo cùng một đơn vị. Kí hiệu: $\dfrac{AB}{CD}$.

Đổi đơn vị đo (cm, mm, m…) thì tỉ số không đổi.

Ví dụ 1 — chia đoạn thành các phần bằng nhau. Đoạn $AB$ gồm 3 phần bằng nhau, đoạn $CD$ gồm 5 phần như thế.

• Mỗi phần 1 cm: $AB = 3$ cm, $CD = 5$ cm, $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{3}{5}$.
• Mỗi phần 2 cm: $AB = 6$ cm, $CD = 10$ cm, $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$. Vẫn thế!

Ví dụ 2 — nhớ đổi đơn vị. Sợi ruy băng dài 30 cm, sợi dây dài 1,2 m.
Viết $\dfrac{30}{1{,}2}$ là sai (khác đơn vị). Đổi $1{,}2$ m $= 120$ cm: $\dfrac{30}{120} = \dfrac{1}{4}$ — sợi dây dài gấp 4 lần ruy băng.

2. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn $AB$, $CD$ tỉ lệ với hai đoạn $MN$, $PQ$ nếu
$\frac{AB}{CD} = \frac{MN}{PQ} \quad\text{hay}\quad \frac{AB}{MN} = \frac{CD}{PQ}.$

Ví dụ 1. $AB = 3$, $CD = 5$, $MN = 6$, $PQ = 10$: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$ nên $AB, CD$ tỉ lệ với $MN, PQ$.

Ví dụ 2. Bản vẽ ngôi nhà: cửa sổ rộng 2 cm, cửa chính rộng 5 cm. Ngoài thực tế cửa sổ rộng 0,8 m, cửa chính rộng 2 m. Ta có $\dfrac{2}{5} = \dfrac{0{,}8}{2} = 0{,}4$ — kích thước trên bản vẽ tỉ lệ với kích thước thật.

3. Định lí Thalès (thuận)

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tam giác $ABC$, $MN \parallel BC$ ($M \in AB$, $N \in AC$):
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC};\qquad \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC};\qquad \frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC}.$

Hình dung: kéo đường song song trượt lên xuống, hai tỉ số $\dfrac{AM}{AB}$ và $\dfrac{AN}{AC}$ thay đổi cùng nhau và luôn bằng nhau.

Ví dụ 1 — chiếc lều. Lều cắm trại có dây phơi căng song song với mặt đất. Mái trái: từ đỉnh xuống dây 1 m, từ dây xuống đất 0,5 m. Mái phải: từ đỉnh xuống dây 1,2 m. Đoạn từ dây xuống đất ở mái phải dài bao nhiêu?
$\dfrac{1}{0{,}5} = \dfrac{1{,}2}{x}$ ⇒ $x = 0{,}5 \cdot 1{,}2 : 1 = 0{,}6$ (m).

Ví dụ 2. Tam giác $ABC$, $MN \parallel BC$, $AM = 3$, $MB = 6$, $AN = 4$. Tính $NC$.
$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$ ⇒ $\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{x}$ ⇒ $x = 6 \cdot 4 : 3 = 8$.

4. Định lí Thalès đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

Tam giác $ABC$, $M \in AB$, $N \in AC$, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ ⇒ $MN \parallel BC$.

Ví dụ 1. $AM = 2$, $MB = 3$, $AN = 4$, $NC = 6$: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ ⇒ $MN \parallel BC$.

Ví dụ 2 (bẫy). $AM = 3$, $MB = 5$, $AN = 4$, $NC = 6$: $\dfrac{3}{5} \ne \dfrac{2}{3}$ ⇒ $MN$ không song song với $BC$ (dù nhìn hình có thể "gần song song").

Bảng ghi nhớ

Kí hiệu: $\parallel$ song song · $\dfrac{AM}{AB}$ tỉ số hai đoạn thẳng.

Lỗi hay gặp

1. Ghép sai đoạn tương ứng. Bên trái lấy "đoạn nhỏ / cả cạnh" thì bên phải cũng phải "đoạn nhỏ / cả cạnh". Viết $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{EC}$ là sai.
2. Quên đổi cùng đơn vị trước khi lập tỉ số (30 cm với 1,2 m).
3. Dùng Thalès khi chưa có song song. Định lí thuận chỉ dùng được khi biết đường thẳng song song với một cạnh.
4. Nhìn hình đoán song song. Muốn khẳng định song song phải tính hai tỉ số và so sánh (Thalès đảo).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

Cách làm: tìm đường song song → viết tỉ lệ thức với đúng các đoạn tương ứng → tìm $x$.

Bài 1. Tam giác $ABC$ có $DE \parallel BC$ ($D \in AB$, $E \in AC$).
a) $AD = 4$, $DB = 2$, $AE = 6$. Tính $EC$.
b) $AD = 3$, $AB = 9$, $EC = 5$. Tính $AE$.

Bài 2. Tam giác $PQR$ có $UV \parallel QR$ ($U \in PQ$, $V \in PR$), $PU = 6$, $PQ = 10$, $VR = 3$. Tính $PV$.

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách làm: tính hai tỉ số trên hai cạnh rồi so sánh; bằng nhau ⇒ song song (Thalès đảo).

Bài 3. Tam giác $DEF$, $I \in DE$, $K \in DF$. $IK$ có song song với $EF$ không?
a) $DI = 2$, $IE = 5$, $DK = 3$, $KF = 7{,}5$.
b) $DI = 4$, $IE = 6$, $DK = 5$, $KF = 8$.

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: vẽ hình, đặt tên điểm, tìm tam giác và đường song song, dùng Thalès.

Bài 4. Đường dốc cho xe lăn $AC$ dài 6 m; chân dốc $A$ cách chân cột đỡ $B$ là $AB = 5$ m. Cột phụ $DE$ song song với cột đỡ $BC$ ($D \in AB$, $E \in AC$).
a) $AD = 2$ m. Đầu cột phụ cách chân dốc bao nhiêu mét (đo dọc theo dốc)?
b) Một cột khác có đầu cột cách chân dốc 4,5 m dọc theo dốc. Chân cột cách chân dốc bao nhiêu?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Dây song song"

Chuẩn bị: một tờ giấy to, thước, bút, sợi chỉ.

1. Vẽ một tam giác lớn $ABC$. Chia cạnh $AB$ và $AC$ mỗi cạnh thành 5 phần bằng nhau (đánh dấu 1, 2, 3, 4).
2. Căng sợi chỉ nối điểm số 2 trên $AB$ với điểm số 2 trên $AC$. Dùng thước và ê ke kiểm tra: sợi chỉ có song song với $BC$ không?
3. Đổi lượt: một người căng chỉ song song với $BC$ ở một chỗ bất kì, người kia đo bốn đoạn rồi tính hai tỉ số $\dfrac{AM}{AB}$ và $\dfrac{AN}{AC}$. Chênh nhau ít nhất thì thắng.
4. Thử nối điểm số 2 trên $AB$ với điểm số 3 trên $AC$: tỉ số khác nhau, sợi chỉ còn song song không?