anim.vnToán lớp 8 · Bài 16 · 6 phút
Đường trung bình của tam giác
Mục lục video
Vẽ một tam giác bất kì, đánh dấu trung điểm của hai cạnh rồi nối lại. Dù tam giác cao hay thấp, méo hay đều, đoạn nối ấy luôn song song với cạnh còn lại và dài đúng một nửa cạnh đó. Đoạn thẳng đặc biệt này gọi là đường trung bình của tam giác. Nhờ nó, ta đo được những khoảng cách không đi thẳng tới được.
1. Định nghĩa
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Tam giác GHK có M là trung điểm GH, N là trung điểm GK thì MN là một đường trung bình. Lấy thêm P là trung điểm HK, ta có thêm MP và NP. Mỗi tam giác có đúng ba đường trung bình.
- Ví dụ 1 (lá cờ): lá cờ hình tam giác, may một dải ruy băng nối điểm giữa hai mép cờ. Dải ruy băng là một đường trung bình của lá cờ.
- Ví dụ 2 (bẫy): trong tam giác GHK, đoạn MK nối trung điểm M của GH với đỉnh K. Đó là đường trung tuyến, không phải đường trung bình. Đường trung bình cần cả hai đầu mút đều là trung điểm.
2. Tính chất
Định lí. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Tam giác GHK, M là trung điểm GH, N là trung điểm GK thì MN // HK và MN = HK : 2.
Vì sao?
- GM/GH = GN/GK = 1/2, theo định lí Thalès đảo: MN // HK.
- Gọi P là trung điểm HK. Tương tự, NP // GH. Tứ giác MNPH có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, suy ra MN = HP = HK : 2.
Hình dung: trượt tam giác nhỏ GMN theo cạnh GH, nó khớp đúng vào góc H; trượt theo cạnh GK, nó khớp vào góc K. Hai bản sao nằm kề nhau trên cạnh HK, nên HK dài gấp đôi MN.
- Ví dụ 1 (móc treo áo): móc treo áo hình tam giác có thanh dưới dài 40 cm. Sợi dây nối trung điểm hai cạnh nghiêng nằm ngang (song song thanh dưới) và dài 40 : 2 = 20 (cm).
- Ví dụ 2 (chiều ngược): đường trung bình dài 4,5 cm thì cạnh thứ ba dài 4,5 · 2 = 9 (cm). Biết đường trung bình thì nhân đôi, đừng chia đôi.
Bảng kí hiệu
| Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa |
|---|---|---|
| MN // HK | MN song song với HK | hai đường thẳng không cắt nhau |
| MN = HK : 2 | MN bằng nửa HK | đường trung bình bằng nửa cạnh thứ ba |
| GM = MH | GM bằng MH | M là trung điểm GH (trên hình: hai gạch giống nhau) |
Lỗi hay gặp
- Nhầm đường trung bình với đường trung tuyến: trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện; đường trung bình nối hai trung điểm.
- Nhân/chia nhầm chiều: biết cạnh thứ ba thì chia đôi để được đường trung bình; biết đường trung bình thì nhân đôi để được cạnh thứ ba. Mẹo kiểm tra: đường trung bình luôn ngắn hơn cạnh thứ ba.
- Quên chỉ ra hai trung điểm: muốn dùng tính chất, phải nói rõ "M là trung điểm GH, N là trung điểm GK nên MN là đường trung bình của tam giác GHK".
- Chọn nhầm cạnh thứ ba: cạnh thứ ba là cạnh không chứa hai trung điểm.
Bài tập theo dạng
Dạng 1: Tính độ dài
Cách làm: tìm hai trung điểm để thấy đường trung bình; đường trung bình = cạnh thứ ba : 2; cạnh thứ ba = 2 · đường trung bình.
Bài 1. Tam giác PQR có I là trung điểm PQ, K là trung điểm PR.
a) QR = 13 cm. Tính IK.
b) PQ = 10 cm, PR = 12 cm, QR = 14 cm. Tính chu vi tam giác PIK.
Đáp án
a) IK là đường trung bình của tam giác PQR nên IK = 13 : 2 = 6,5 cm.
b) PI = 5 cm, PK = 6 cm, IK = 14 : 2 = 7 cm. Chu vi PIK = 5 + 6 + 7 = 18 cm (đúng bằng nửa chu vi tam giác PQR).
Bài 2. Tam giác XYZ có A, B lần lượt là trung điểm XY, XZ và AB = 8,5 cm. Tính YZ.
Đáp án
AB là đường trung bình nên YZ = 2 · 8,5 = 17 cm.
Dạng 2: Chứng minh, nhận dạng tứ giác
Cách làm: kẻ thêm đoạn (thường là đường chéo) để có tam giác chứa đường trung bình, rồi dùng "song song và bằng nửa".
Bài 3. Tứ giác STUV có E, G, H, K lần lượt là trung điểm của ST, TU, UV, VS.
a) Chứng minh EGHK là hình bình hành.
b) Biết SU = 10 cm, TV = 14 cm. Tính chu vi EGHK.
Đáp án
a) Kẻ đường chéo SU. Trong tam giác STU, EG là đường trung bình nên EG // SU và EG = SU : 2. Trong tam giác SVU, KH là đường trung bình nên KH // SU và KH = SU : 2. Vậy EG // KH và EG = KH, nên EGHK là hình bình hành.
b) EG = HK = 10 : 2 = 5 cm; EK = GH = 14 : 2 = 7 cm (đường trung bình của tam giác STV và UTV). Chu vi = 2 · (5 + 7) = 24 cm.
Bài 4. Tứ giác WXYZ có hai đường chéo WY và XZ vuông góc với nhau. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của WX, XY, YZ, ZW. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Đáp án
Như Bài 3, ABCD là hình bình hành với AB // WY (đường trung bình tam giác WXY) và AD // XZ (đường trung bình tam giác XWZ). Vì WY vuông góc XZ nên AB vuông góc AD, tức góc A = 90°. Hình bình hành có một góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật.
Dạng 3: Bài toán thực tế
Cách làm: vẽ hình, đặt tên điểm, tìm tam giác có đường trung bình, rồi nhân đôi hoặc chia đôi.
Bài 5.
a) Hai cột đèn ở hai đầu một nhà kho. Bạn Minh chọn điểm O bên ngoài, cắm cọc ở trung điểm đoạn từ O tới mỗi cột; hai cọc cách nhau 23 m. Hai cột đèn cách nhau bao xa?
b) Chân mái nhà rộng 7,4 m. Thanh xà nối trung điểm hai kèo dài bao nhiêu?
Đáp án
a) Đoạn nối hai cọc là đường trung bình của tam giác có đỉnh O và hai cột đèn, nên hai cột cách nhau 2 · 23 = 46 m.
b) Thanh xà là đường trung bình của tam giác mái, dài 7,4 : 2 = 3,7 m (không phải 14,8 m: thanh xà phải ngắn hơn chân mái).
Trò chơi ở nhà (5 phút): "Gấp giấy tìm một nửa"
- Cắt một tam giác bất kì từ giấy (càng méo càng vui).
- Gấp để tìm trung điểm hai cạnh (gấp cho hai đầu cạnh chạm nhau), đánh dấu, rồi kẻ đoạn nối.
- Gấp đỉnh chung của hai cạnh ấy xuống sao cho nếp gấp trùng đoạn vừa kẻ. Đỉnh chạm đúng cạnh thứ ba!
- Lấy thước đo đoạn nối và cạnh thứ ba, xem có đúng gấp đôi không. Thử với 3 tam giác khác nhau; ai tìm được tam giác "không đúng" thì thắng (gợi ý: không có đâu).