Tính chất đường phân giác của tam giác

Tia phân giác chia đôi một góc. Vậy nó có chia đôi luôn cạnh đối diện không? Thử với tam giác có hai cạnh kề 3 cm và 6 cm: chân đường phân giác lệch hẳn về phía cạnh ngắn, không nằm ở trung điểm. Bài này cho bạn biết nó chia theo quy luật nào, vì sao lại như vậy, và dùng quy luật đó để tính độ dài.

Cần nhớ trước: tia phân giác của một góc, tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau, định lí Thalès trong tam giác.

1. Định lí

Tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc A (D nằm trên cạnh BC). Đường phân giác chia cạnh BC thành hai đoạn DB và DC.

Định lí. Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Ở tam giác mở bài: AB = 3, AC = 6, BC = 6 thì DB = 2, DC = 4. Hai tỉ số 2/4 và 3/6 cùng bằng 1/2.

• Ví dụ 1 (cánh diều): một cánh diều hình tam giác có hai cạnh 30 cm và 45 cm. Thanh tre chia đôi góc ở đỉnh sẽ chia cạnh đáy theo tỉ số 30 : 45 = 2 : 3. Đáy dài 50 cm thì hai đoạn là 20 cm và 30 cm.
• Ví dụ 2 (tam giác cân): nếu hai cạnh kề bằng nhau (AB = AC) thì DB/DC = 1, tức là DB = DC: chân đường phân giác là trung điểm. Đó là lí do trong tam giác cân, đường phân giác ở đỉnh cũng là đường trung tuyến.

Mẹo nhớ: đoạn nào nằm sát cạnh nào thì đi cùng cạnh đó (DB sát AB, DC sát AC).

2. Vì sao đúng? (dùng định lí Thalès)

Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC tại K.

• AD là phân giác nên góc A₁ = góc A₂.
• BK // AD nên góc B₁ = góc A₁ (so le trong) và góc K = góc A₂ (đồng vị).
• Vậy góc B₁ = góc K: tam giác ABK cân tại A, suy ra AK = AB.
• Định lí Thalès trong tam giác CBK (AD // BK): DB/DC = AK/AC = AB/AC.

3. Chiều ngược lại

Nếu điểm D nằm trên đoạn BC và DB/DC = AB/AC thì AD là đường phân giác của góc A.

• Ví dụ 1: AB = 4, AC = 6, D trên BC với DB = 2, DC = 3. Vì 2/3 = 4/6 nên AD là phân giác góc A.
• Ví dụ 2 (bẫy): cùng tam giác đó, trung điểm M của BC cho MB/MC = 1 ≠ 4/6, nên AM không phải phân giác. Trung tuyến và phân giác chỉ trùng nhau khi AB = AC.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nghĩ phân giác chia đôi cạnh đối diện. Chỉ đúng khi hai cạnh kề bằng nhau.
2. Ghép sai cặp: viết DB/DC = AC/AB. Hãy kiểm tra: DB phải đi cùng AB (cạnh kề với nó).
3. Nhầm cạnh bị chia: phân giác góc B chia cạnh AC (cạnh đối diện B), không chia BC.
4. Biết cả cạnh BC mà không biết từng đoạn: đừng đoán, hãy chia BC theo tỉ số AB : AC (dãy tỉ số bằng nhau).

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính độ dài một đoạn

Viết tỉ lệ thức theo định lí → thay số → tìm số chưa biết (nhân chéo).

Bài 1. Tam giác HPK có HE là đường phân giác (E thuộc PK).
a) HP = 6 cm, HK = 9 cm, EP = 4 cm. Tính EK.
b) EP = 3 cm, EK = 5 cm, HK = 10 cm. Tính HP.

Bài 2. Tam giác ABC có phân giác BM (M thuộc AC), AB = 10 cm, BC = 14 cm, AM = 5 cm. Tính MC và AC.

Dạng 2: Biết cả cạnh bị chia, tính từng đoạn

Lập tỉ số hai đoạn = tỉ số hai cạnh kề → chia cạnh thành phần bằng nhau (dãy tỉ số bằng nhau).

Bài 3. Tam giác EGH có EG = 8 cm, EH = 12 cm, GH = 15 cm, phân giác EI (I thuộc GH).
a) Tính IG và IH.
b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác EGI và EHI.

Bài 4. Tam giác PQR có PQ = 9 cm, PR = 6 cm, QR = 10 cm, phân giác PS. Tính SQ, SR.

Dạng 3: Bài toán thực tế

Vẽ hình, tìm đường phân giác (đường "chia đôi góc"), rồi làm như Dạng 1 hoặc Dạng 2.

Bài 5. Khu vườn tam giác OMN có OM = 12 m, ON = 16 m, hàng rào MN = 21 m. Lối đi chia đôi góc O, gặp hàng rào MN tại cổng G.
a) Cổng G cách M và N bao nhiêu mét?
b) Muốn cổng nằm chính giữa hàng rào (giữ nguyên OM) thì ON phải dài bao nhiêu?

Bài 6. Một mảnh bìa hình tam giác có hai cạnh 20 cm và 25 cm. Bạn Lan cắt theo đường chia đôi góc xen giữa hai cạnh đó, đường cắt chia cạnh thứ ba thành hai đoạn, đoạn ngắn dài 12 cm. Cạnh thứ ba dài bao nhiêu?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Gấp đôi góc"

Cắt một tam giác giấy có hai cạnh dài khác hẳn nhau (ví dụ 8 cm và 12 cm). Gấp giấy sao cho hai cạnh đó chồng lên nhau: nếp gấp chính là đường phân giác. Mở ra, đo hai đoạn mà nếp gấp chia cạnh thứ ba, rồi chia cho nhau. So với 8 : 12 = 2 : 3 xem có gần bằng không. Thử lại với tam giác có hai cạnh bằng nhau: nếp gấp rơi đúng vào đâu?