anim.vn

Toán lớp 8 · Bài 9 · 9 phút

Phân tích đa thức thành nhân tử

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

  1. Mở đầu: x² − 5x = 0
  2. Đặt nhân tử chung
  3. Dùng hằng đẳng thức
  4. Nhóm hạng tử
  5. Ứng dụng: tìm x, tính nhanh
  6. Dạng 1: Đặt nhân tử chung
  7. Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức
  8. Dạng 3: Nhóm hạng tử
  9. Dạng 4: Tìm x, tính nhanh
  10. Kết bài

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là viết đa thức đó thành một tích của những đa thức. Mỗi thừa số của tích gọi là một nhân tử.

Đây là chiều ngược của phép nhân đa thức:

x(x−5)  →nhaˆn  x2−5x  →phaˆn tıˊch  x(x−5)x(x - 5) \;\xrightarrow{\text{nhân}}\; x^2 - 5x \;\xrightarrow{\text{phân tích}}\; x(x - 5)

Có ba cách cơ bản. Bạn nên thử theo thứ tự: đặt nhân tử chung → hằng đẳng thức → nhóm hạng tử, và thường phải phối hợp nhiều cách trong cùng một bài.

1. Đặt nhân tử chung

Nếu mọi hạng tử cùng chứa một nhân tử, ta đưa nhân tử đó ra ngoài ngoặc: AB+AC=A(B+C)AB + AC = A(B + C).

Cách tìm nhân tử chung của các đơn thức:

  • phần số: ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các hệ số;
  • phần biến: các biến có mặt trong mọi hạng tử, mỗi biến lấy số mũ nhỏ nhất.

Sau đó chia từng hạng tử cho nhân tử chung để biết trong ngoặc có gì.

  • Ví dụ 1 (đời sống). Mua 3 hộp sữa, mỗi hộp xx nghìn đồng, và 3 gói bánh, mỗi gói yy nghìn đồng. Tổng tiền 3x+3y3x + 3y. Nếu gói thành 3 phần quà, mỗi phần một hộp sữa và một gói bánh, thì tổng tiền là 3(x+y)3(x + y). Vậy 3x+3y=3(x+y)3x + 3y = 3(x + y): số 3 có mặt ở cả hai hạng tử được "hút" ra ngoài ngoặc.
  • Ví dụ 2. 6x3−9x26x^3 - 9x^2. ƯCLN(6,9)=3(6, 9) = 3; biến xx có mũ nhỏ nhất là 2. Nhân tử chung 3x23x^2:
    6x3−9x2=3x2⋅2x−3x2⋅3=3x2(2x−3).6x^3 - 9x^2 = 3x^2 \cdot 2x - 3x^2 \cdot 3 = 3x^2(2x - 3).
    Kiểm tra bằng cách nhân ngược: 3x2⋅2x=6x33x^2 \cdot 2x = 6x^3, 3x2⋅(−3)=−9x23x^2 \cdot (-3) = -9x^2. Đúng!

Nhân tử chung có thể là cả một đa thức: 2x(y−3)+7(y−3)=(y−3)(2x+7)2x(y - 3) + 7(y - 3) = (y - 3)(2x + 7).

2. Dùng hằng đẳng thức

Đọc các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều tổng → tích:

Dạng tổngDạng tích
A2+2AB+B2A^2 + 2AB + B^2(A+B)2(A + B)^2
A2−2AB+B2A^2 - 2AB + B^2(A−B)2(A - B)^2
A2−B2A^2 - B^2(A−B)(A+B)(A - B)(A + B)
A3+3A2B+3AB2+B3A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3(A+B)3(A + B)^3
A3−3A2B+3AB2−B3A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3(A−B)3(A - B)^3
A3+B3A^3 + B^3(A+B)(A2−AB+B2)(A + B)(A^2 - AB + B^2)
A3−B3A^3 - B^3(A−B)(A2+AB+B2)(A - B)(A^2 + AB + B^2)

Mẹo nhận dạng: đếm số hạng tử, rồi tìm xem hạng tử nào là bình phương, lập phương của cái gì.

  • Ví dụ 1 (đời sống). Khu đất hình vuông cạnh xx mét, ở một góc có bồn hoa hình vuông cạnh 2 m. Phần trồng cỏ có diện tích x2−4x^2 - 4. Cắt phần cỏ (hình chữ L) thành hai hình chữ nhật rồi ghép lại, ta được một hình chữ nhật dài x+2x + 2, rộng x−2x - 2. Vậy x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
  • Ví dụ 2. 25x2−20x+425x^2 - 20x + 4: ba hạng tử; 25x2=(5x)225x^2 = (5x)^2, 4=224 = 2^2, hạng tử giữa 2⋅5x⋅2=20x2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x. Vậy
    25x2−20x+4=(5x−2)2.25x^2 - 20x + 4 = (5x - 2)^2.

3. Nhóm hạng tử

Khi cả đa thức không có nhân tử chung, ta ghép vài hạng tử thành nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung (hoặc là một hằng đẳng thức), và sau khi phân tích từng nhóm thì các nhóm lại có nhân tử chung với nhau.

  • Ví dụ 1 (đời sống). Lớp có aa bạn nam và bb bạn nữ, mỗi bạn được xx cái kẹo và yy cái bánh. Đếm từng loại: ax+ay+bx+byax + ay + bx + by.
    =(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)= (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
    đúng là số bạn × số quà của mỗi bạn.
  • Ví dụ 2 (bẫy dấu). x2−3x−xy+3yx^2 - 3x - xy + 3y
    =(x2−3x)−(xy−3y)=x(x−3)−y(x−3)=(x−3)(x−y).= (x^2 - 3x) - (xy - 3y) = x(x - 3) - y(x - 3) = (x - 3)(x - y).
    Đưa dấu trừ ra trước ngoặc thì mọi hạng tử trong ngoặc đổi dấu: −xy+3y=−(xy−3y)-xy + 3y = -(xy - 3y), không phải −(xy+3y)-(xy + 3y).

Có thể có nhiều cách nhóm. Nhóm xong mà các nhóm không có nhân tử chung thì thử cách nhóm khác.

4. Ứng dụng

Tìm xx. Một tích bằng 0 khi có ít nhất một nhân tử bằng 0: A⋅B=0⇒A=0A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0 hoặc B=0B = 0.

  • Ví dụ. x2−5x=0⇒x(x−5)=0⇒x=0x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0 hoặc x=5x = 5. Nếu chia hai vế cho xx ta chỉ còn x=5x = 5 và mất nghiệm x=0x = 0.

Tính nhanh. Phân tích trước, thay số sau.

  • Ví dụ. 732−272=(73−27)(73+27)=46⋅100=4 60073^2 - 27^2 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 \cdot 100 = 4\,600.

Bảng kí hiệu

ViếtĐọcÝ nghĩa
3x2(2x−3)3x^2(2x - 3)ba x bình phương nhân ngoặc hai x trừ batích của hai nhân tử 3x23x^2 và 2x−32x - 3
(x−2)3(x - 2)^3ngoặc x trừ hai, tất cả mũ balập phương của x−2x - 2
−(4a−4b)-(4a - 4b)trừ ngoặc bốn a trừ bốn b=−4a+4b= -4a + 4b
A⋅B=0A \cdot B = 0A nhân B bằng khôngA=0A = 0 hoặc B=0B = 0

Lỗi hay gặp

  1. Chưa phân tích triệt để: x3−16x=x(x2−16)x^3 - 16x = x(x^2 - 16) mới xong một bước; phải viết tiếp =x(x−4)(x+4)= x(x - 4)(x + 4). Luôn nhìn lại từng nhân tử xem còn phân tích được không.
  2. Nhân tử chung chưa "lớn nhất": 6x3−9x2=3x(2x2−3x)6x^3 - 9x^2 = 3x(2x^2 - 3x) vẫn đúng nhưng trong ngoặc còn nhân tử chung xx.
  3. Quên số 1 khi rút hết một hạng tử: 5x3−10x2+5x=5x(x2−2x+1)5x^3 - 10x^2 + 5x = 5x(x^2 - 2x + 1), không phải 5x(x2−2x)5x(x^2 - 2x).
  4. Nhóm sai dấu: −4a+4b=−(4a−4b)-4a + 4b = -(4a - 4b).
  5. Chia hai vế cho biến khi tìm xx: mất nghiệm x=0x = 0.

Mẹo: sau khi phân tích, nhân ngược lại để kiểm tra.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Đặt nhân tử chung

Bài 1. Phân tích thành nhân tử: a) 8a2b−12ab28a^2b - 12ab^2 · b) 5x3−10x2+5x5x^3 - 10x^2 + 5x · c) 2x(y−3)+7(y−3)2x(y - 3) + 7(y - 3)

Đáp án

a) ƯCLN(8,12)=4(8, 12) = 4, biến chung abab: 8a2b−12ab2=4ab(2a−3b)8a^2b - 12ab^2 = 4ab(2a - 3b).
b) 5x3−10x2+5x=5x(x2−2x+1)=5x(x−1)25x^3 - 10x^2 + 5x = 5x(x^2 - 2x + 1) = 5x(x - 1)^2 (đừng quên số 1, và phân tích tiếp trong ngoặc).
c) Nhân tử chung là (y−3)(y - 3): (y−3)(2x+7)(y - 3)(2x + 7).

Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức

Bài 2. Phân tích thành nhân tử: a) 9x2−16y29x^2 - 16y^2 · b) x3−6x2+12x−8x^3 - 6x^2 + 12x - 8 · c) 3x3−243x^3 - 24

Đáp án

a) (3x)2−(4y)2=(3x−4y)(3x+4y)(3x)^2 - (4y)^2 = (3x - 4y)(3x + 4y).
b) x3−3⋅x2⋅2+3⋅x⋅22−23=(x−2)3x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = (x - 2)^3.
c) 3(x3−8)=3(x−2)(x2+2x+4)3(x^3 - 8) = 3(x - 2)(x^2 + 2x + 4).

Dạng 3: Nhóm hạng tử

Bài 3. Phân tích thành nhân tử: a) xy+5x+2y+10xy + 5x + 2y + 10 · b) a2−ab−4a+4ba^2 - ab - 4a + 4b · c) x2−2x+1−y2x^2 - 2x + 1 - y^2

Đáp án

a) x(y+5)+2(y+5)=(y+5)(x+2)x(y + 5) + 2(y + 5) = (y + 5)(x + 2).
b) (a2−ab)−(4a−4b)=a(a−b)−4(a−b)=(a−b)(a−4)(a^2 - ab) - (4a - 4b) = a(a - b) - 4(a - b) = (a - b)(a - 4).
c) (x−1)2−y2=(x−1−y)(x−1+y)(x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 - y)(x - 1 + y).

Dạng 4: Tìm x và tính nhanh

Bài 4. a) Tìm xx, biết x3=9xx^3 = 9x. b) Tính nhanh x2+xy−5x−5yx^2 + xy - 5x - 5y tại x=105x = 105, y=−5y = -5.

Đáp án

a) x3−9x=0⇒x(x−3)(x+3)=0⇒x∈{0; 3; −3}x^3 - 9x = 0 \Rightarrow x(x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x \in \{0;\ 3;\ -3\}.
b) x(x+y)−5(x+y)=(x+y)(x−5)=100⋅100=10 000x(x + y) - 5(x + y) = (x + y)(x - 5) = 100 \cdot 100 = 10\,000.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Gói quà"

Dùng kẹo (hoặc bút, cúc áo) của hai loại. Người lớn bày ra, chẳng hạn, 4 đĩa, mỗi đĩa 2 viên kẹo đỏ và 3 viên kẹo xanh. Bạn viết tổng số kẹo theo hai cách:

  • đếm từng loại: 4⋅2+4⋅34 \cdot 2 + 4 \cdot 3;
  • đếm từng đĩa: 4⋅(2+3)4 \cdot (2 + 3).

Đổi vai: bạn bày, người lớn viết. Sau đó thay số kẹo mỗi đĩa bằng chữ xx, yy và số đĩa bằng chữ aa: bạn vừa "đặt nhân tử chung" ax+ay=a(x+y)ax + ay = a(x + y) bằng tay!