Tới nội dung

Toán lớp 8 · Bài 8 · 8 phút

Tổng và hiệu hai lập phương

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

Hai hằng đẳng thức cuối cùng trong "bảy hằng đẳng thức đáng nhớ". Chúng biến một tổng/hiệu hai lập phương thành tích (và ngược lại), giúp viết thành tích, rút gọn và tính nhanh.

1. Tổng hai lập phương

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Kiểm tra bằng cách nhân ngược lại:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3.$
Các hạng tử $-a^2b$ với $+a^2b$ , $+ab^2$ với $-ab^2$ triệt tiêu từng cặp, chỉ còn hai lập phương.

Ngoặc $a^2 - ab + b^2$ gọi là bình phương thiếu của hiệu: giống $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ nhưng thiếu số 2.

Ví dụ 1 (tính nhanh). Hai khối gỗ lập phương cạnh 7 cm và 3 cm. Tổng thể tích:
$7^3 + 3^3 = (7 + 3)(49 - 21 + 9) = 10 \cdot 37 = 370$ (cm³). Không cần tính $343 + 27$ .
Ví dụ 2 (nhận ra lập phương). $125x^3 + 1 = (5x)^3 + 1^3 = (5x + 1)(25x^2 - 5x + 1)$ .
Mẹo: $125x^3$ là lập phương của $5x$ vì $5^3 = 125$ .

2. Hiệu hai lập phương

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Cách nhớ: thay $b$ bằng $-b$ trong công thức tổng, mọi dấu có $b$ mũ lẻ đổi chiều. Ngoặc $a^2 + ab + b^2$ là bình phương thiếu của tổng.

Ví dụ 1 (tính nhanh). Một khối rubik cạnh 12 cm bị khoét một khối nhỏ cạnh 2 cm. Thể tích còn lại:
$12^3 - 2^3 = (12 - 2)(144 + 24 + 4) = 10 \cdot 172 = 1720$ (cm³).
Ví dụ 2. $1000 - y^3 = 10^3 - y^3 = (10 - y)(100 + 10y + y^2)$ .

Mẹo dấu: ngoặc nhỏ cùng dấu với vế trái; hạng tử giữa $ab$ của ngoặc lớn ngược dấu; $a^2$ và $b^2$ luôn là dấu cộng.

Vế trái	Ngoặc nhỏ	Ngoặc lớn
$a^3 + b^3$	$a + b$	$a^2 \mathbin{\mathbf{-}} ab + b^2$
$a^3 - b^3$	$a - b$	$a^2 \mathbin{\mathbf{+}} ab + b^2$

Bảng kí hiệu

Viết	Đọc	Ý nghĩa
$a^3$	a lập phương (a mũ ba)	$a \cdot a \cdot a$
$(2x)^3$	hai x, tất cả lập phương	$= 8x^3$
$a^2 - ab + b^2$	bình phương thiếu của hiệu	khác $(a - b)^2$
$a^2 + ab + b^2$	bình phương thiếu của tổng	khác $(a + b)^2$

Lỗi hay gặp

Nhầm bình phương thiếu với bình phương đủ: viết $a^3 + b^3 = (a + b)(a - b)^2$ . Sai, vì $(a - b)^2$ có $-2ab$ , còn bình phương thiếu chỉ có $-ab$ .
Sai dấu trong bình phương thiếu: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 - ab + b^2)$ là sai. Hiệu thì hạng tử giữa phải là $+ab$ .
Nhầm $a^3 + b^3$ với $(a + b)^3$ : thử $a = b = 1$ : $1^3 + 1^3 = 2$ nhưng $(1 + 1)^3 = 8$ .
Quên lập phương cả hệ số: $(3x)^3 = 27x^3$ , không phải $3x^3$ .
Trừ một tích mà quên đổi dấu: $-(x^3 - y^3) = -x^3 + y^3$ .

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Viết thành tích

Cách làm: viết mỗi hạng tử thành lập phương của một biểu thức ( $A^3$ , $B^3$ ) → xác định tổng hay hiệu → áp công thức.

Bài 1. Viết thành tích: a) $x^3 + 216$ b) $343a^3 - b^3$ c) $(x - 1)^3 + 1$

Đáp án

a) $x^3 + 6^3 = (x + 6)(x^2 - 6x + 36)$ .
b) $(7a)^3 - b^3 = (7a - b)(49a^2 + 7ab + b^2)$ . Hiệu nên giữa là cộng $7ab$ .
c) $A = x - 1$ , $B = 1$ : $(x - 1 + 1)\big[(x - 1)^2 - (x - 1) + 1\big] = x(x^2 - 3x + 3)$ .

Dạng 2: Nhận dạng tích ↔ tổng, hiệu

Cách làm: tìm $A$ , $B$ ở ngoặc nhỏ → kiểm tra ngoặc lớn có đúng là $A^2 \mp AB + B^2$ không → viết gọn thành $A^3 \pm B^3$ .

Bài 2. a) Viết $(y - 5)(y^2 + 5y + 25)$ thành hiệu hai lập phương.
b) Điền vào ô trống: $(2a + 3b)(4a^2 - \square + 9b^2) = 8a^3 + 27b^3$ .
c) Bạn Minh viết $(x + 1)^3 = x^3 + 1$ . Đúng hay sai?

Đáp án

a) $A = y$ , $B = 5$ : $y^3 - 125$ .
b) $A = 2a$ , $B = 3b$ nên ô trống là $AB = 6ab$ (không phải $12ab$ , đó là của bình phương đủ).
c) Sai. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ , còn $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ . Thử $x = 1$ : $8 \ne 2$ .

Dạng 3: Rút gọn biểu thức

Cách làm: nhận ra tích có dạng hằng đẳng thức → thay bằng $A^3 \pm B^3$ → bỏ ngoặc (chú ý dấu trừ trước ngoặc) → thu gọn.

Bài 3. Rút gọn: a) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - a(a^2 - 3)$ b) $(x + y)(x^2 - xy + y^2) - (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Đáp án

a) $= a^3 - 8 - a^3 + 3a = 3a - 8$ .
b) $= (x^3 + y^3) - (x^3 - y^3) = x^3 + y^3 - x^3 + y^3 = 2y^3$ .

Dạng 4: Tính nhanh, tính giá trị

Cách làm: đưa về $A^3 \pm B^3$ rồi dùng dạng tích (hoặc ngược lại) để số đẹp hơn; nếu biết $a + b$ và $ab$ thì dùng $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ .

Bài 4. a) Hai hộp quà lập phương cạnh 13 cm và 7 cm. Tính tổng thể tích mà không cần máy tính.
b) Biết $a + b = 5$ và $ab = 6$ . Tính $a^3 + b^3$ .

Đáp án

a) $13^3 + 7^3 = (13 + 7)(169 - 91 + 49) = 20 \cdot 127 = 2540$ (cm³).
b) $a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab = 25 - 18 = 7$ , nên $a^3 + b^3 = 5 \cdot 7 = 35$ . (Kiểm tra: $a = 2$ , $b = 3$ cho $8 + 27 = 35$ .)

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Lập phương ai nhanh hơn"

Hai người, một tờ giấy. Người A đọc hai số nhỏ (từ 1 đến 12), ví dụ "11 và 9". Người B tính tổng hai lập phương bằng công thức: $(11 + 9)(121 - 99 + 81) = 20 \cdot 103 = 2060$ . Người A tính cách thường ( $1331 + 729$ ) bằng máy tính. Ai ra trước được 1 điểm, sai dấu thì mất lượt. Mẹo: chọn cặp số có tổng tròn chục (11 và 9, 13 và 7, 6 và 4) thì cách công thức luôn thắng!