Tới nội dung

Toán lớp 8 · Bài 7 · 8 phút

Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Bài 7 Toán lớp 8: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu. Nội dung: câu đố mở đầu, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, ghi nhớ.

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

0. Câu đố mở đầu

Một khối lập phương cạnh 3 xếp từ $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ khối nhỏ. Chia cạnh thành $2 + 1$ . Nhiều bạn nghĩ
$(2 + 1)^3 = 2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9$ . Nhưng khối có tới 27 khối nhỏ! 18 khối còn lại ở đâu? Đọc tiếp để tìm ra.

1. Lập phương của một tổng

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Vì sao? Lập phương là bình phương nhân thêm một lần nữa:

$(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)$
$= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$

Nhìn bằng hình. Cắt khối lập phương cạnh $a + b$ theo cả ba chiều (mỗi chiều thành $a$ và $b$ ), được 8 khối con:

Số khối	Kích thước	Thể tích
1 khối to	$a \times a \times a$	$a^3$
3 tấm dẹt	$a \times a \times b$	$3a^2b$
3 thanh dài	$a \times b \times b$	$3ab^2$
1 khối nhỏ	$b \times b \times b$	$b^3$

Với $a = 2$ , $b = 1$ : $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . Mười tám khối "trốn" trong 3 tấm và 3 thanh!

Hệ số 1, 3, 3, 1; số mũ của $a$ giảm dần $3 \to 0$ , số mũ của $b$ tăng dần $0 \to 3$ .

Ví dụ 1 (tính nhanh). $11^3 = (10 + 1)^3 = 1000 + 3 \cdot 100 \cdot 1 + 3 \cdot 10 \cdot 1 + 1 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.$
Ví dụ 2 (có bẫy). $(3x + 1)^3$ với $a = 3x$ , $b = 1$ :
$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1.$
Bẫy: $(3x)^3 = 27x^3$ , không phải $3x^3$ — phải lập phương cả hệ số, nên luôn đặt $3x$ trong ngoặc.

2. Lập phương của một hiệu

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Vì sao? $a - b = a + (-b)$ . Thay $b$ bằng $-b$ trong công thức trên: $(-b)^2 = b^2$ (dương), $(-b)^3 = -b^3$ (âm).
Hệ số vẫn 1, 3, 3, 1, còn dấu xen kẽ: $+, -, +, -$ . Hạng tử nào có $b$ mũ lẻ thì mang dấu trừ.

Ví dụ 1 (tính nhanh). $19^3 = (20 - 1)^3 = 8000 - 3 \cdot 400 \cdot 1 + 3 \cdot 20 \cdot 1 - 1 = 8000 - 1200 + 60 - 1 = 6859.$
Ví dụ 2 (có bẫy). $(y - 4)^3 = y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 4 + 3 \cdot y \cdot 4^2 - 4^3 = y^3 - 12y^2 + 48y - 64.$
Hạng tử cuối là $-64$ (không phải $+64$ ).

3. Ghi nhớ

Viết	Đọc
$(a + b)^3$	$a$ cộng $b$ , tất cả lập phương (lập phương của một tổng)
$(a - b)^3$	$a$ trừ $b$ , tất cả lập phương (lập phương của một hiệu)
$a^3$	$a$ lập phương ( $a$ mũ ba)
$3a^2b$	ba $a$ bình phương $b$
$3ab^2$	ba $a$ $b$ bình phương

Hai hằng đẳng thức dùng theo ba chiều:

Khai triển: từ $(a \pm b)^3$ viết ra 4 hạng tử.
Viết ngược thành lập phương: thấy 4 hạng tử có hai đầu là lập phương thì thử gom lại.
Tính nhanh, rút gọn: $101^3 = (100 + 1)^3$ , hay biến đổi biểu thức thành lập phương rồi mới thay số.

Lỗi hay gặp

Viết $(a + b)^3 = a^3 + b^3$ . Sai: thiếu hai hạng tử giữa. Thử số: $(2 + 1)^3 = 27$ , còn $2^3 + 1^3 = 9$ .
Quên hệ số 3. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ , không phải $x^3 + x^2 + x + 1$ .
Sai dấu ở lập phương một hiệu. $(m - 2)^3 = m^3 - 6m^2 + 12m - 8$ . Hạng tử thứ ba mang dấu cộng (vì $(-2)^2 = 4 > 0$ ), không phải "trừ hết".
Quên lập phương hệ số. $(4y)^3 = 64y^3$ , không phải $4y^3$ .
Viết ngược mà chỉ kiểm một hạng tử giữa. Phải khớp cả hai hạng tử $3a^2b$ và $3ab^2$ .

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Khai triển

Cách làm: xác định $a$ và $b$ (kể cả hệ số); viết 4 hạng tử theo công thức, $a$ và $b$ đặt trong ngoặc; tính từng hạng tử.

Bài 1. Khai triển: a) $(x + 5)^3$ · b) $(4y - 1)^3$ · c) $(a + 6)^3$ · d) $(2x - 5)^3$

Đáp án

a) $x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 25 + 125 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$ .
b) $(4y)^3 - 3 \cdot (4y)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 4y \cdot 1 - 1 = 64y^3 - 48y^2 + 12y - 1$ .
c) $a^3 + 18a^2 + 108a + 216$ .
d) $8x^3 - 60x^2 + 150x - 125$ .

Dạng 2: Viết thành lập phương của một tổng hay một hiệu

Cách làm: tìm hai hạng tử là lập phương ở hai đầu → suy ra $a$ , $b$ ; kiểm tra cả hai hạng tử giữa có đúng $3a^2b$ , $3ab^2$ ; dấu xen kẽ thì là một hiệu.

Bài 2. Viết thành lập phương (nếu được):
a) $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$ · b) $125 - 75y + 15y^2 - y^3$ · c) $x^3 + 6x^2 + 6x + 8$

Đáp án

a) $a = x$ , $b = 4$ : $3x^2 \cdot 4 = 12x^2$ ✓, $3x \cdot 16 = 48x$ ✓ → $(x + 4)^3$ .
b) $a = 5$ , $b = y$ , dấu xen kẽ: $3 \cdot 25 \cdot y = 75y$ ✓, $3 \cdot 5 \cdot y^2 = 15y^2$ ✓ → $(5 - y)^3$ .
c) $a = x$ , $b = 2$ : $3x^2 \cdot 2 = 6x^2$ ✓ nhưng $3 \cdot x \cdot 4 = 12x \ne 6x$ → không viết được thành lập phương của một tổng.

Dạng 3: Tính nhanh và rút gọn

Cách làm: tách số thành "số tròn ± số nhỏ"; hoặc viết biểu thức thành lập phương rồi mới thay số. Rút gọn: khai triển từng lập phương trong ngoặc, bỏ ngoặc (trước ngoặc có dấu trừ thì đổi dấu), rồi thu gọn.

Bài 3. a) Tính nhanh $101^3$ . b) Tính $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ tại $x = 22$ .

Đáp án

a) $(100 + 1)^3 = 1\,000\,000 + 30\,000 + 300 + 1 = 1\,030\,301$ .
b) Biểu thức $= (x - 2)^3$ ; tại $x = 22$ : $20^3 = 8000$ .

Bài 4 (thực tế). Hai hộp quà hình lập phương có cạnh $x + 1$ và $x - 1$ (dm). Thể tích hộp lớn hơn hộp nhỏ bao nhiêu? Tính khi $x = 5$ .

Đáp án

$(x + 1)^3 - (x - 1)^3 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 6x^2 + 2$ (dm³).
Khi $x = 5$ : $6 \cdot 25 + 2 = 152$ dm³ (thử lại: $6^3 - 4^3 = 216 - 64 = 152$ ).

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Tìm 18 khối trốn"

Dùng 27 viên đường (hoặc khối Lego vuông) xếp một khối lập phương $3 \times 3 \times 3$ . Một người tách ra khối $2 \times 2 \times 2$ ở một góc và khối lẻ ở góc đối diện, người kia phải gỡ phần còn lại thành 3 tấm $2 \times 2 \times 1$ và 3 thanh $2 \times 1 \times 1$ , rồi đọc to: " $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ , tức là $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ". Đổi vai, thử với khối $4 \times 4 \times 4 = (3 + 1)^3$ : $27 + 27 + 9 + 1 = 64$ .