Tới nội dung

Toán lớp 9 · Bài 4 · 8 phút

Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

Có hai loại phương trình trông "khó" hơn phương trình bậc nhất, nhưng thật ra chỉ cần vài bước là đưa về được phương trình bậc nhất quen thuộc:

Phương trình tích: $(ax + b)(cx + d) = 0$ .
Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ẩn $x$ nằm dưới dấu gạch phân số.

1. Phương trình tích

Ý chính. Một tích bằng $0$ khi (và chỉ khi) có ít nhất một thừa số bằng $0$ .

$(ax + b)(cx + d) = 0 \iff ax + b = 0 \ \text{ hoặc } \ cx + d = 0.$

Giải từng phương trình bậc nhất, rồi lấy tất cả các nghiệm.

Ví dụ 1 (đời sống). Hai bạn mỗi người nghĩ một số rồi nhân với nhau, ra $0$ . Không cần hỏi cũng biết: ít nhất một bạn đã nghĩ số $0$ .
Tương tự, giải $(x - 4)(2x + 6) = 0$ :

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ ;
$2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$ .

Phương trình có hai nghiệm $x = 4$ và $x = -3$ .

Ví dụ 2 (có bẫy). Giải $x^2 = 3x$ .

Cách sai: chia hai vế cho $x$ được $x = 3$ → mất nghiệm $x = 0$ .
Cách đúng: chuyển vế cho vế phải bằng $0$ , rồi phân tích thành nhân tử:
$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$ .

Ví dụ 3 (đặt nhân tử chung là một ngoặc). $(x - 1)^2 = 2x - 2$
$\Rightarrow (x - 1)^2 - 2(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 1 - 2) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0$
$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$ .

Cách làm chung: Bước 1 — chuyển hết sang vế trái, phân tích vế trái thành tích. Bước 2 — cho từng nhân tử bằng $0$ .

2. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Ý chính. Không thể chia cho $0$ . Vì vậy với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện cho ẩn để mọi mẫu đều khác $0$ . Đó là điều kiện xác định của phương trình.

Hình dung trên trục số: những giá trị làm mẫu bằng $0$ là vùng cấm. Nghiệm tìm được mà rơi vào vùng cấm thì bị loại.

Ví dụ 1 (đời sống). Chia $12$ cái bánh cho $0$ bạn thì mỗi bạn được bao nhiêu? Câu hỏi vô nghĩa, nên phép chia cho $0$ không có.
Phương trình $\dfrac{5}{x - 2} = 1$ : mẫu $x - 2 \ne 0$ , nên ĐKXĐ là $x \ne 2$ .

Ví dụ 2 (có bẫy). $\dfrac{x + 1}{2x} - \dfrac{3}{x + 4} = 1$ .

$2x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ (không phải $x \ne 2$ !);
$x + 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne -4$ .

ĐKXĐ: $x \ne 0$ và $x \ne -4$ .

3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu — 4 bước

Tìm điều kiện xác định.
Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
Giải phương trình vừa nhận được.
Kết luận: chỉ giữ những giá trị thoả ĐKXĐ.

Ví dụ 1. $\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3}{x + 2}$ .

ĐKXĐ: $x \ne 1$ , $x \ne -2$ .
Mẫu chung $(x - 1)(x + 2)$ ; khử mẫu: $2(x + 2) = 3(x - 1)$ .
$2x + 4 = 3x - 3 \Rightarrow x = 7$ .
$x = 7$ thoả ĐKXĐ. Vậy nghiệm là $x = 7$ .

Ví dụ 2 (nghiệm "ma"). $\dfrac{x}{x - 3} + 2 = \dfrac{3}{x - 3}$ .

ĐKXĐ: $x \ne 3$ .
Khử mẫu: $x + 2(x - 3) = 3 \Rightarrow 3x - 6 = 3 \Rightarrow x = 3$ .
Nhưng $x = 3$ nằm trong vùng cấm (mẫu bằng $0$ ) → loại. Phương trình vô nghiệm.

Kí hiệu

Kí hiệu	Đọc là	Nghĩa
$A \cdot B = 0$	A nhân B bằng không	$A = 0$ hoặc $B = 0$
$x \ne 2$	x khác hai	điều kiện: $x$ không được bằng $2$
ĐKXĐ	điều kiện xác định	mọi mẫu khác $0$
vô nghiệm	—	không có giá trị nào của $x$ thoả mãn

Lỗi hay gặp

Chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn (như $x$ , $x + 3$ ) → mất nghiệm làm biểu thức đó bằng $0$ . Hãy chuyển vế rồi đặt nhân tử chung.
Quên đối chiếu ĐKXĐ → giữ lại một giá trị làm mẫu bằng $0$ .
Quy đồng sai dấu: trừ một tích thì phải đổi dấu mọi hạng tử: $-(x + 3)(x - 2) = -x^2 - x + 6$ .
Giải sai phương trình bậc nhất nhỏ: $6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$ (không phải $-2$ ).
Viết thiếu nghiệm của phương trình tích: phải lấy nghiệm của cả hai nhánh.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Giải phương trình tích

Cho từng nhân tử bằng $0$ , giải từng phương trình bậc nhất.

a) $(2x - 5)(x + 4) = 0$ b) $(6 - 3x)(4x + 1) = 0$ c) $(x + 6)(3x - 9) = 0$

Đáp án

a) $2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \tfrac52$ ; $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ .
b) $6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$ ; $4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac14$ .
c) $x = -6$ ; $3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Dạng 2: Đưa về phương trình tích

Chuyển vế cho vế phải bằng $0$ , phân tích vế trái thành nhân tử. Không chia cho biểu thức chứa ẩn.

a) $(x + 3)(2x - 1) = (x + 3)(x + 4)$ b) $9x^2 - 1 = (3x + 1)(x + 2)$ c) $x^2 = 5x$

Đáp án

a) $(x + 3)(2x - 1) - (x + 3)(x + 4) = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = -3$ hoặc $x = 5$ . (Chia cho $x + 3$ sẽ mất $x = -3$ .)
b) $(3x - 1)(3x + 1) - (3x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow (3x + 1)(2x - 3) = 0 \Rightarrow x = -\tfrac13$ hoặc $x = \tfrac32$ .
c) $x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$ .

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Làm đủ 4 bước; bước cuối nhớ đối chiếu ĐKXĐ.

a) Tìm ĐKXĐ của $\dfrac{x}{3x - 6} + \dfrac{1}{x + 5} = 2$ .
b) $\dfrac{x + 1}{x - 2} - \dfrac{x + 3}{x + 1} = \dfrac{9}{(x - 2)(x + 1)}$
c) $\dfrac{x + 2}{x - 2} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x(x - 2)}$

Đáp án

a) $3x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$ ; $x + 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$ .
b) ĐKXĐ $x \ne 2$ , $x \ne -1$ . Khử mẫu: $(x + 1)^2 - (x + 3)(x - 2) = 9 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + 6 = 9 \Rightarrow x = 2$ → loại. Vô nghiệm.
c) ĐKXĐ $x \ne 0$ , $x \ne 2$ . Khử mẫu: $x(x + 2) - (x - 2) = 2 \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ (loại) hoặc $x = -1$ (nhận). Nghiệm $x = -1$ .

Dạng 4: Bài toán thực tế

Mai đi bộ $3$ km, cùng lúc đó Long đạp xe $9$ km, hai bạn đi hết cùng một khoảng thời gian. Long đi nhanh hơn Mai $8$ km/h. Tính vận tốc mỗi bạn.

Đáp án

Gọi vận tốc của Mai là $x$ (km/h), $x > 0$ ; vận tốc của Long là $x + 8$ .
Thời gian bằng nhau: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{9}{x + 8} \Rightarrow 3(x + 8) = 9x \Rightarrow 6x = 24 \Rightarrow x = 4$ (thoả $x > 0$ ).
Mai đi $4$ km/h, Long đi $12$ km/h.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Vùng cấm"

Vẽ một trục số từ $-5$ đến $5$ trên giấy. Người thứ nhất viết một phân số có ẩn ở mẫu, ví dụ $\dfrac{1}{x + 2}$ , rồi khoanh "vùng cấm" ( $x = -2$ ) bằng bút đỏ. Người thứ hai lần lượt đặt một đồng xu lên các số nguyên: đặt đúng vào vùng cấm thì mất lượt. Đổi vai, thử mẫu khó hơn như $\dfrac{1}{2x - 6}$ hay $\dfrac{3}{x(x - 1)}$ (hai điểm cấm).