Bất đẳng thức và tính chất

Toán 9 · Bài 5. Bạn sẽ biết bất đẳng thức là gì, và ba tính chất dùng suốt chương: bắc cầu, cộng cùng một số, nhân cùng một số. Chỗ hay sai nhất là: nhân với số âm thì phải đổi chiều.

1. Bất đẳng thức là gì?

Với hai số thực $a$ và $b$, chỉ có ba khả năng: $a = b$, $a > b$ hoặc $a < b$. Trên trục số, số bé hơn nằm bên trái.

Thêm hai kí hiệu:

• $a \geq b$ (đọc "a lớn hơn hoặc bằng b"): $a > b$ hoặc $a = b$.
• $a \leq b$ (đọc "a bé hơn hoặc bằng b"): $a < b$ hoặc $a = b$.

Hệ thức dạng $a > b$, $a < b$, $a \geq b$, $a \leq b$ gọi là bất đẳng thức; $a$ là vế trái, $b$ là vế phải.

• Ví dụ 1. Thang máy chở tối đa 630 kg. Gọi $m$ (kg) là khối lượng chở được: $m \leq 630$ (vế trái $m$, vế phải $630$).
• Ví dụ 2 (bẫy). "$x$ là số không âm" viết là $x \geq 0$, không phải $x > 0$ — vì $x = 0$ vẫn thoả mãn.

Hai bất đẳng thức cùng dấu $<$ (hoặc cùng dấu $>$) là cùng chiều, ví dụ $2 < 7$ và $-4 < -1$. Một $<$, một $>$ là ngược chiều, ví dụ $2 < 7$ và $5 > 3$.

2. Tính chất bắc cầu

Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$. (Các dấu $>$, $\geq$, $\leq$ cũng vậy.)

Trên trục số: $a$ bên trái $b$, $b$ bên trái $c$, nên $a$ chắc chắn bên trái $c$.

• Ví dụ 1. Nam thấp hơn Hà, Hà thấp hơn Tuấn ⇒ không cần đo, Nam thấp hơn Tuấn.
• Ví dụ 2. Chứng minh $\dfrac{19}{18} > \dfrac{26}{27}$. Tìm số làm cầu là $1$: $\dfrac{19}{18} > 1$ (tử lớn hơn mẫu) và $1 > \dfrac{26}{27}$ (tử bé hơn mẫu). Bắc cầu: $\dfrac{19}{18} > \dfrac{26}{27}$.

3. Cộng cùng một số vào hai vế — giữ chiều

Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ với mọi số $c$ (các dấu $\leq$, $>$, $\geq$ cũng vậy).

Trừ cùng một số cũng giữ chiều, vì trừ $c$ là cộng $-c$.

• Ví dụ 1 (cân đĩa). Túi 5 kg nặng hơn túi 3 kg. Thêm quả cân 2 kg vào mỗi bên: $5 + 2 > 3 + 2$, tức $7 > 5$, cân vẫn nghiêng về bên cũ.
• Ví dụ 2 (trục số). $-3 < 2$. Cộng $-4$ vào hai vế: hai điểm cùng trượt sang trái 4 đơn vị, được $-7 < -2$. Thứ tự không đổi.

4. Nhân cùng một số — số dương giữ chiều, số âm ĐỔI chiều

Với $c > 0$: $a < b \Rightarrow ac < bc$ (giữ chiều).
Với $c < 0$: $a < b \Rightarrow ac > bc$ (đổi chiều).
Chia cho số âm cũng đổi chiều (chia cho $c$ là nhân với $\tfrac{1}{c}$).

Vì sao? Nhân với $-1$, mỗi điểm trên trục số lật gương sang phía bên kia số $0$: $1 < 3$ nhưng $-1 > -3$.

• Ví dụ 1 (nợ tiền). Bình nợ 30 nghìn, An nợ 50 nghìn. $30 < 50$, nhưng ghi thành số âm: $-30 > -50$ — Bình vẫn khá hơn An.
• Ví dụ 2 (bẫy). $4 > -2$. Nhân hai vế với $-3$: viết $-12 > 6$ là sai; phải đổi chiều: $-12 < 6$.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nhân hoặc chia hai vế với số âm mà quên đổi chiều. Mỗi lần nhân/chia, hỏi ngay: "số này âm hay dương?".
2. Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều. $5 > 1$ và $2 < 9$ không cho ra $7 > 10$. Chỉ cộng vế với vế khi hai bất đẳng thức cùng chiều.
3. Nhân vế với vế khi có số âm. $-3 < 1$ và $-2 < 1$ nhưng $6 < 1$ là sai. Nhân vế với vế chỉ an toàn khi các vế đều dương.
4. Nhầm "ít nhất", "không quá", "không âm" thành dấu không có bằng ($>$, $<$).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Viết bất đẳng thức từ lời

Cách làm: "không quá, tối đa" → $\leq$; "ít nhất, tối thiểu" → $\geq$; "trên, dưới" → $>$, $<$.

Bài 1. a) Nhiệt độ $t$ trong phòng máy không được vượt quá $26\,^\circ$C. b) Chiều cao $h$ để chơi tàu lượn phải ít nhất $120$ cm. c) $a$ là số không dương.

Bài 2. Viết bất đẳng thức: a) số khách $k$ trên một thuyền không quá $12$ người; b) điểm $d$ để đạt giải phải từ $8$ trở lên; c) $y$ là số âm.

Dạng 2. So sánh mà không cần tính

Cách làm: tìm phần giống nhau ở hai vế, so sánh phần khác nhau, rồi dùng tính chất cộng hoặc nhân (nhân số âm thì đổi chiều).

Bài 3. So sánh: a) $57 + (-38)$ và $61 + (-38)$; b) $(-6)\cdot 2{,}5$ và $(-6)\cdot 1{,}8$; c) $14 \cdot (-0{,}3)$ và $14 \cdot (-0{,}7)$.

Dạng 3. Biết một bất đẳng thức, so sánh hai biểu thức

Cách làm: đi từ bất đẳng thức đã cho, cộng/nhân từng bước cho giống biểu thức cần so sánh.

Bài 4. Cho $x < y$. So sánh: a) $x - 6$ và $y - 6$; b) $-4x + 1$ và $-4y + 1$.

Bài 5. Biết $-5m \leq -5n$. So sánh $m$ và $n$.

Dạng 4. Chứng minh bất đẳng thức

Cách làm: tìm một số làm cầu ở giữa, hoặc đi từ điều đã biết rồi cộng, nhân từng bước.

Bài 6. a) Chứng minh $\dfrac{41}{40} > \dfrac{38}{39}$. b) Cho $a > 3$, chứng minh $5 - 2a < -1$.

Trò chơi 5 phút ở nhà: "Giữ hay lật?"

Một người viết một bất đẳng thức đúng lên giấy, ví dụ $2 < 9$. Người kia rút một thẻ phép toán (chuẩn bị sẵn: "+5", "−7", "×3", "×(−2)", ":(−4)", "×(−1)"…) và phải hô ngay "Giữ!" hoặc "Lật!" rồi viết bất đẳng thức mới. Đúng được 1 điểm; ai nhanh hơn thì lượt sau được ra đề. Mẹo: chỉ thẻ nhân hoặc chia với số âm mới "Lật".