Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Heo đất của bạn có 60 nghìn, mỗi tuần bỏ thêm 25 nghìn, cần ít nhất 300 nghìn để mua đôi giày.
Phải để dành ít nhất bao nhiêu tuần? Câu hỏi này không dẫn tới dấu "$=$" mà dẫn tới dấu "$\ge$" — một bất phương trình.

Bài này học sau bài Bất đẳng thức và tính chất: mọi quy tắc giải đều lấy từ các tính chất đó.

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Gọi $x$ là số tuần để dành. Sau $x$ tuần heo đất có $60 + 25x$ nghìn, và ta cần

$60 + 25x \ge 300.$

Đó là một bất phương trình ẩn $x$: $60 + 25x$ là vế trái, $300$ là vế phải.
Chuyển vế ta được $25x - 240 \ge 0$.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng

$ax + b < 0 \quad(\text{hoặc } ax + b > 0,\ ax + b \le 0,\ ax + b \ge 0), \qquad a \ne 0.$

Ví dụ 1 (heo đất). $25x - 240 \ge 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn với $a = 25$, $b = -240$.

Ví dụ 2 (nhận biết, có bẫy).

• $4x - 7 > 0$: có, $a = 4$.
• $0{,}5 - x \le 0$: có, $a = -1$ (hệ số của $x$ là $-1$, không phải $1$).
• $2x^2 + 1 < 0$: không, vì có $x^2$.
• $0 \cdot x + 3 > 0$: không, vì $a = 0$.

2. Nghiệm của bất phương trình

Thay $x = x_0$ vào, nếu được khẳng định đúng thì $x_0$ là một nghiệm.
Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm.

Ví dụ 1 (heo đất). $x = 8$: $60 + 25 \cdot 8 = 260 \ge 300$ là sai, nên $8$ không phải nghiệm.
$x = 10$: $310 \ge 300$ là đúng, nên $10$ là một nghiệm.

Ví dụ 2 (bẫy dấu bằng). $3x - 5 < 4$.
$x = -1$: $-8 < 4$, đúng. $x = 3$: $4 < 4$, sai — bằng nhau thì không phải "nhỏ hơn".
Thật ra mọi $x < 3$ đều là nghiệm: tập nghiệm là cả một khoảng. Trên trục số, đó là tia bên trái điểm $3$, còn điểm $3$ để rỗng vì nó không phải nghiệm (nếu là dấu $\le$ thì tô đặc).

3. Cách giải: chuyển vế, chia cho số dương

Hai quy tắc, đều từ tính chất bất đẳng thức:

1. Chuyển vế: chuyển một hạng tử sang vế kia thì đổi dấu hạng tử đó.
2. Chia (nhân) hai vế cho cùng một số dương: giữ nguyên chiều.

Ví dụ 1. $3x + 12 > 0 \Rightarrow 3x > -12 \Rightarrow x > -4$ (chia cho $3 > 0$, giữ chiều).
Nghiệm là mọi số lớn hơn $-4$, không phải "$x = -4$".

Ví dụ 2. $2x - 5 \le 0 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le \dfrac{5}{2}$. Có dấu bằng nên $\dfrac52$ cũng là nghiệm (điểm tô đặc).

4. Chia cho số âm: phải đổi chiều

Ví dụ 1 (vì sao?). $2 < 5$. Nhân cả hai số với $-1$: được $-2$ và $-5$.
Trên trục số, $-2$ nằm bên phải $-5$, nên $-2 > -5$. Dấu đã lật chiều.

Nhân hoặc chia hai vế cho một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.

Ví dụ 2 (bẫy). $-4x + 8 > 0 \Rightarrow -4x > -8$.
Viết $x > 2$ là sai (quên đổi chiều). Đúng: chia cho $-4 < 0$ nên $x < 2$.
Thử lại: $x = 0$ cho $8 > 0$, đúng — khớp với $x < 2$.

Tổng quát: $ax + b < 0 \Rightarrow ax < -b$; nếu $a > 0$ thì $x < -\dfrac{b}{a}$, nếu $a < 0$ thì $x > -\dfrac{b}{a}$.
Các dạng $>, \le, \ge$ giải tương tự.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Chia cho số âm mà quên đổi chiều — lỗi số một. Mỗi lần chia, hỏi: "số này âm hay dương?".
2. Ghi nghiệm là một số ($x = 3{,}5$) trong khi nghiệm là cả một khoảng ($x > 3{,}5$).
3. Nhầm $<$ với $\le$ khi kiểm tra nghiệm: $4 < 4$ sai, nhưng $4 \le 4$ đúng.
4. Bài thực tế: quên chọn nghiệm hợp đề. Hỏi ít nhất thì làm tròn lên ($x \ge 9{,}6 \to 10$); hỏi nhiều nhất thì làm tròn xuống ($x \le 108{,}3 \to 108$). Nếu là dấu $<$ ($x < 20$) thì không lấy chính số đó.
5. Chuyển vế quên đổi dấu, hoặc bỏ ngoặc có dấu trừ phía trước mà quên đổi dấu cả ngoặc.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết · kiểm tra nghiệm

Cách làm: đúng dạng $ax + b$ ($<, >, \le, \ge$) $0$ với $a \ne 0$; kiểm tra nghiệm thì thay số vào.

Bài 1. Cái nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn? a) $7 - 2x \ge 0$; b) $x^2 + 3 < 0$; c) $0 \cdot x - 5 > 0$.

Bài 2. Trong các số $-3;\ 0;\ 4$, số nào là nghiệm của $5 - 2x > 1$?

Dạng 2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Cách làm: chuyển số sang vế phải (đổi dấu) → chia hai vế cho hệ số của $x$ → chia số âm thì đổi chiều.

Bài 3. Giải: a) $6x - 18 > 0$; b) $-3x - 9 \ge 0$; c) $7 - 2x < 0$.

Dạng 3. x ở hai vế, có dấu ngoặc

Cách làm: bỏ ngoặc → hạng tử chứa $x$ sang trái, số sang phải (đổi dấu) → rút gọn, giải như dạng 2.

Bài 4. Giải: a) $5x - 4 < 2x + 11$; b) $2(x - 3) \ge 5x + 6$.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: gọi ẩn (nêu điều kiện) → lập và giải bất phương trình → chọn nghiệm hợp đề.

Bài 5. Heo đất có 60 nghìn, mỗi tuần thêm 25 nghìn, cần ít nhất 300 nghìn. Ít nhất bao nhiêu tuần?

Bài 6. Pin điện thoại còn 85%, mỗi phút xem video tốn 0,6%. Phải giữ lại ít nhất 20%. Xem được nhiều nhất bao nhiêu phút?

Thêm bài (số liệu khác) trong bài tập về nhà (PDF).

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Lật dấu"

Một người đọc một bất phương trình đơn giản (vd "$-3x$ lớn hơn $12$"), người kia giơ tay trái nếu đáp án là "$x <$ …", tay phải nếu "$x >$ …", rồi đọc số.
Luật: chia cho số âm mà giơ nhầm tay thì mất lượt. Đổi vai sau 5 câu. Mẹo: nói to "âm — lật!" mỗi khi chia cho số âm.