anim.vn

Toán lớp 9 · Bài 11 · 9 phút

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

  1. Mở đầu: chiếc thang 60°
  2. Cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
  3. Sin, cos, tan, cot
  4. Tính tỉ số lượng giác
  5. Góc 30°, 45°, 60°
  6. Hai góc phụ nhau
  7. Dùng máy tính cầm tay
  8. Dạng 1: Tính tỉ số từ hai cạnh
  9. Dạng 2: Tính cạnh từ góc
  10. Dạng 3: Hai góc phụ nhau
  11. Dạng 4: Bài toán thực tế
  12. Kết bài

Một chiếc thang dài 4 m dựa vào tường, nghiêng 60° so với mặt đất. Đỉnh thang cao bao nhiêu?
Chỉ biết một cạnh và một góc, không đo tường, vẫn tính được. Bài này cho bạn công cụ để làm việc đó.

1. Gọi tên các cạnh theo góc đang xét

Tam giác DEFDEF vuông tại DD.

  • Cạnh huyền: cạnh đối diện góc vuông, ở đây là EFEF. Đây luôn là cạnh dài nhất.
  • Xét góc EE:
    • cạnh đối là cạnh nằm xa, không chạm góc EE: DFDF;
    • cạnh kề là cạnh chạm vào góc EE nhưng không phải cạnh huyền: DEDE.

Ví dụ 1. Với góc EE: đối DFDF, kề DEDE, huyền EFEF.

Ví dụ 2 (hay nhầm). Đổi sang góc FF: đối là DEDE, kề là DFDF. Khi đổi góc, cạnh đối và cạnh kề đổi vai cho nhau. Chỉ cạnh huyền giữ nguyên.

2. Bốn tỉ số lượng giác

Với góc nhọn α\alpha trong tam giác vuông:

Tỉ sốCông thứcMẹo nhớ
sin⁡α\sin\alphacạnh đoˆˊicạnh huyeˆˋn\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}sin đi học (đối / huyền)
cos⁡α\cos\alphacạnh keˆˋcạnh huyeˆˋn\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}cos không hư (kề / huyền)
tan⁡α\tan\alphacạnh đoˆˊicạnh keˆˋ\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}tan đoàn kết (đối / kề)
cot⁡α\cot\alphacạnh keˆˋcạnh đoˆˊi\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}cot kết đoàn (kề / đối)

Ngoài ra cot⁡α=1tan⁡α\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}, tức tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1.

Vì sao tỉ số không phụ thuộc tam giác to hay nhỏ? Hai tam giác vuông có cùng một góc nhọn thì đồng dạng, nên tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau. Chẳng hạn một tam giác có cạnh đối 7, cạnh huyền 25 thì sin⁡=0,28\sin = 0{,}28; phóng to gấp đôi thành 14 và 50, vẫn là 0,280{,}28. Tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Ví dụ 1. Tam giác DEFDEF vuông tại DD, DE=20DE = 20, DF=21DF = 21. Theo Pythagore EF2=202+212=841EF^2 = 20^2 + 21^2 = 841, nên EF=29EF = 29. Với góc EE (đối 21, kề 20):
sin⁡E=2129\sin E = \frac{21}{29}, cos⁡E=2029\cos E = \frac{20}{29}, tan⁡E=2120\tan E = \frac{21}{20}, cot⁡E=2021\cot E = \frac{20}{21}.

Ví dụ 2 (bẫy). Viết sin⁡E=2921\sin E = \frac{29}{21} là sai: tử lớn hơn mẫu, tức sin⁡E>1\sin E > 1. Vì cạnh huyền dài nhất, sin và cos của góc nhọn luôn nằm giữa 0 và 1 (cạnh huyền luôn ở mẫu). Còn tan⁡\tan, cot⁡\cot thì có thể lớn hơn 1.

3. Các góc đặc biệt 30°, 45°, 60°

Ví dụ 1 — góc 45°. Cắt đôi hình vuông cạnh 1 theo đường chéo: được tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng 1, cạnh huyền 2\sqrt2.
sin⁡45∘=cos⁡45∘=12=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, tan⁡45∘=cot⁡45∘=1\tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1.

Ví dụ 2 — góc 30° và 60°. Cắt đôi tam giác đều cạnh 2 bằng một đường cao: được tam giác vuông có cạnh ngắn 1, cạnh huyền 2, đường cao 3\sqrt3; góc 60° ở đỉnh đáy, góc 30° ở đỉnh trên.

α\alpha30°45°60°
sin⁡α\sin\alpha12\frac1222\frac{\sqrt2}{2}32\frac{\sqrt3}{2}
cos⁡α\cos\alpha32\frac{\sqrt3}{2}22\frac{\sqrt2}{2}12\frac12
tan⁡α\tan\alpha33\frac{\sqrt3}{3}113\sqrt3
cot⁡α\cot\alpha3\sqrt31133\frac{\sqrt3}{3}

Không cần học thuộc máy móc: nhớ hai hình (nửa hình vuông, nửa tam giác đều) là tự suy ra được.

Trả lời câu hỏi mở đầu: độ cao là cạnh đối của góc 60°, thang là cạnh huyền:
h=4⋅sin⁡60∘=4⋅32=23≈3,46h = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46 m.

4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hai góc nhọn của một tam giác vuông có tổng 90∘90^\circ: ta nói chúng phụ nhau. Cạnh đối của góc này chính là cạnh kề của góc kia, nên

sin⁡α=cos⁡(90∘−α),cos⁡α=sin⁡(90∘−α),tan⁡α=cot⁡(90∘−α),cot⁡α=tan⁡(90∘−α).\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha),\quad \cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha),\quad \tan\alpha = \cot(90^\circ - \alpha),\quad \cot\alpha = \tan(90^\circ - \alpha).

Ví dụ 1. sin⁡70∘=cos⁡(90∘−70∘)=cos⁡20∘\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ.

Ví dụ 2. tan⁡58∘⋅tan⁡32∘=cot⁡32∘⋅tan⁡32∘=1\tan 58^\circ \cdot \tan 32^\circ = \cot 32^\circ \cdot \tan 32^\circ = 1 (không cần máy tính).

5. Dùng máy tính cầm tay

  • Chỉnh máy về chế độ độ (màn hình có chữ D nhỏ). Nếu máy ở chế độ radian (R), sin⁡38\sin 38 ra 0,2960{,}296: sai hoàn toàn!
  • Tính tỉ số: bấm sin 3 8 = được sin⁡38∘≈0,616\sin 38^\circ \approx 0{,}616.
  • Máy không có phím cot: cot⁡38∘=1:tan⁡38∘≈1,28\cot 38^\circ = 1 : \tan 38^\circ \approx 1{,}28.
  • Tìm góc: biết sin⁡α=0,6\sin\alpha = 0{,}6, bấm SHIFT sin 0,6 = được 36,87∘36{,}87^\circ; bấm phím độ–phút–giây để đổi ra ≈36∘52′\approx 36^\circ 52'.

Kí hiệu

ViếtĐọcNghĩa
sin⁡α\sin\alphasin an-phađối / huyền
cos⁡α\cos\alphacô-sin an-phakề / huyền
tan⁡α\tan\alphatang an-phađối / kề
cot⁡α\cot\alphacô-tang an-phakề / đối
sin⁡B\sin B, sin⁡B^\sin\widehat{B}sin góc Btỉ số của góc BB
36∘52′36^\circ 52'36 độ 52 phút1∘=60′1^\circ = 60'

Lỗi hay gặp

  1. Nhầm cạnh đối với cạnh kề khi đổi góc. Luôn hỏi: "cạnh này có chạm góc đang xét không?". Chạm (và không phải huyền) là kề.
  2. Viết sin, cos lớn hơn 1. Cạnh huyền luôn ở mẫu của sin và cos; ra kết quả lớn hơn 1 là chắc chắn sai.
  3. Nhầm tan với cot. tan = đối / kề ("tan đoàn kết"), cot là nghịch đảo.
  4. Quên dùng Pythagore khi thiếu một cạnh: tính cạnh thứ ba trước rồi mới lập tỉ số.
  5. Máy tính để chế độ radian. Kiểm tra chữ D trên màn hình trước khi bấm.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác khi biết hai cạnh

Cách làm: Pythagore tìm cạnh thứ ba → xác định cạnh đối, cạnh kề của góc đang xét → lập tỉ số.

Bài 1. Tam giác MNPMNP vuông tại MM, MN=9MN = 9, NP=41NP = 41.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc NN. b) Tính tan⁡P\tan P.

Đáp án

a) MP2=412−92=1600MP^2 = 41^2 - 9^2 = 1600, MP=40MP = 40. Góc NN: đối 40, kề 9. sin⁡N=4041\sin N = \frac{40}{41}, cos⁡N=941\cos N = \frac{9}{41}, tan⁡N=409\tan N = \frac{40}{9}, cot⁡N=940\cot N = \frac{9}{40}.
b) Góc PP: đối MN=9MN = 9, kề MP=40MP = 40, nên tan⁡P=940\tan P = \frac{9}{40} (không phải 409\frac{40}{9}).

Bài 2. Tam giác ABKABK vuông tại AA, AB=1,6AB = 1{,}6, BK=3,4BK = 3{,}4. Tính sin⁡K\sin K, cos⁡K\cos K.

Đáp án

AK2=3,42−1,62=9AK^2 = 3{,}4^2 - 1{,}6^2 = 9, AK=3AK = 3. Góc KK: đối AB=1,6AB = 1{,}6, kề AK=3AK = 3. sin⁡K=1,63,4=817\sin K = \frac{1{,}6}{3{,}4} = \frac{8}{17}, cos⁡K=33,4=1517\cos K = \frac{3}{3{,}4} = \frac{15}{17}.

Dạng 2. Tính cạnh khi biết một góc và một cạnh

Cách làm: gọi tên hai cạnh (đã biết, cần tìm) theo góc → chọn tỉ số chứa đúng hai cạnh ấy → tính.

Bài 3. Tam giác HIKHIK vuông tại HH, I^=30∘\widehat{I} = 30^\circ, IK=14IK = 14 cm. a) Tính HKHK. b) Tính HIHI.

Đáp án

a) HKHK đối, IKIK huyền: HK=14⋅sin⁡30∘=7HK = 14 \cdot \sin 30^\circ = 7 cm.
b) HIHI kề: HI=14⋅cos⁡30∘=73≈12,12HI = 14 \cdot \cos 30^\circ = 7\sqrt3 \approx 12{,}12 cm.

Bài 4. Tam giác vuông có một góc nhọn 60∘60^\circ, cạnh kề với góc đó dài 44 cm. Tính cạnh huyền.

Đáp án

cos⁡60∘=4huyeˆˋn\cos 60^\circ = \frac{4}{\text{huyền}} nên huyền =4:12=8= 4 : \frac12 = 8 cm.

Dạng 3. Hai góc phụ nhau

Cách làm: tìm hai góc có tổng 90∘90^\circ → đổi sin ⇄ cos, tan ⇄ cot → rút gọn.

Bài 5. a) Viết sin⁡68∘\sin 68^\circ, cot⁡75∘\cot 75^\circ theo góc nhỏ hơn 45∘45^\circ. b) Tính sin⁡34∘cos⁡56∘\dfrac{\sin 34^\circ}{\cos 56^\circ}.

Đáp án

a) sin⁡68∘=cos⁡22∘\sin 68^\circ = \cos 22^\circ; cot⁡75∘=tan⁡15∘\cot 75^\circ = \tan 15^\circ.
b) 34∘+56∘=90∘34^\circ + 56^\circ = 90^\circ nên sin⁡34∘=cos⁡56∘\sin 34^\circ = \cos 56^\circ, kết quả bằng 11.

Bài 6. Tính cos⁡12∘−sin⁡78∘\cos 12^\circ - \sin 78^\circ và tan⁡20∘⋅tan⁡70∘\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ.

Đáp án

cos⁡12∘=sin⁡78∘\cos 12^\circ = \sin 78^\circ nên hiệu bằng 00; tan⁡70∘=cot⁡20∘\tan 70^\circ = \cot 20^\circ nên tích bằng 11.

Dạng 4. Bài toán thực tế (có máy tính cầm tay)

Cách làm: vẽ tam giác vuông, đánh dấu góc đã biết → gọi tên cạnh → chọn tỉ số như dạng 2 (tìm góc thì dùng SHIFT).

Bài 7. Bóng cột cờ dài 8 m, tia nắng nghiêng 60° so với mặt đất. Cột cờ cao bao nhiêu?

Đáp án

Cột cờ là cạnh đối, bóng là cạnh kề: h=8⋅tan⁡60∘=83≈13,86h = 8 \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt3 \approx 13{,}86 m.

Bài 8. Máng trượt dài 4 m, đỉnh cao 2,2 m. Máng nghiêng với mặt đất bao nhiêu độ?

Đáp án

sin⁡α=2,24=0,55\sin\alpha = \frac{2{,}2}{4} = 0{,}55; SHIFT sin 0,55 → α≈33∘22′\alpha \approx 33^\circ 22'.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đo độ cao bằng bóng"

Cần: một cái thước dây, điện thoại có ứng dụng đo góc (hoặc thước đo độ), một hôm trời nắng.

  1. Đo bóng của một vật thẳng đứng (cột, cây, cửa) trên mặt đất.
  2. Đo góc giữa tia nắng và mặt đất (đặt thước đo độ ở đầu bóng, ngắm tới đỉnh vật).
  3. Tính chiều cao =boˊng⋅tan⁡(goˊc)= \text{bóng} \cdot \tan(\text{góc}) bằng máy tính cầm tay.
  4. Kiểm tra lại bằng cách đo trực tiếp một vật thấp (cánh cửa). Sai lệch bao nhiêu? Vì sao?

Thử thêm: đo bóng của chính bạn và của cái cột cùng lúc. Hai góc nắng như nhau nên chieˆˋu caoboˊng\frac{\text{chiều cao}}{\text{bóng}} của bạn và của cột bằng nhau — đó chính là tan⁡\tan của góc nắng!