Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Biết một cạnh và một góc của tam giác vuông là tính được mọi cạnh còn lại. Nhờ vậy, bạn đo được chiều cao cột cờ, toà nhà hay khoảng cách tới con thuyền mà không cần trèo lên hay kéo thước dây.

0. Nhắc lại: đối, kề, huyền

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đứng ở góc $B$ mà nhìn:

• $AC$ là cạnh đối (nằm đối diện góc $B$),
• $AB$ là cạnh kề (cạnh góc vuông chạm vào góc $B$),
• $BC$ là cạnh huyền (đối diện góc vuông).

$\sin B = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}},\quad \cos B = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}},\quad \tan B = \frac{\text{đối}}{\text{kề}},\quad \cot B = \frac{\text{kề}}{\text{đối}}.$

Đổi sang góc $C$ thì vai trò đổi theo: $AB$ thành cạnh đối, $AC$ thành cạnh kề.

1. Cạnh góc vuông theo cạnh huyền (sin, côsin)

Từ $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$ nhân hai vế với $BC$ được $AC = BC \cdot \sin B$. Tương tự với côsin.

Định lí 1. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối, hoặc nhân côsin góc kề.

$AC = BC \cdot \sin B = BC \cdot \cos C$; $\quad AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B$.

Ví dụ 1. Con diều. Sợi dây diều dài 40 m, căng thẳng, tạo với mặt đất góc $50^\circ$. Độ cao $h$ của diều (tính từ tay người thả) là cạnh đối góc $50^\circ$, dây là cạnh huyền:
$h = 40 \cdot \sin 50^\circ \approx 30{,}64$ (m).

Ví dụ 2 (có bẫy). Tam giác $DEF$ vuông tại $D$, $EF = 10$, $\widehat{E} = 28^\circ$.

• $DF$ đối diện góc $E$: $DF = 10 \cdot \sin 28^\circ \approx 4{,}69$.
• $DE$ kề góc $E$: viết $10 \cdot \sin 28^\circ$ là sai. Đúng là $DE = 10 \cdot \cos 28^\circ \approx 8{,}83$.

2. Cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia (tang, côtang)

Từ $\tan B = \dfrac{AC}{AB}$ được $AC = AB \cdot \tan B$. Với góc $C$ thì $AC$ là cạnh kề, $\cot C = \dfrac{AC}{AB}$ nên $AC = AB \cdot \cot C$.

Định lí 2. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối, hoặc nhân côtang góc kề.

$AC = AB \cdot \tan B = AB \cdot \cot C$; $\quad AB = AC \cdot \tan C = AC \cdot \cot B$.

Ví dụ 1. Bóng cột đèn. Bóng cột đèn trên mặt đất dài 4,5 m, tia nắng tạo với mặt đất góc $58^\circ$. Chiều cao cột là cạnh đối, cái bóng là cạnh kề:
$h = 4{,}5 \cdot \tan 58^\circ \approx 7{,}2$ (m).

Ví dụ 2. Hai cách, một đáp số. Tam giác $MNP$ vuông tại $M$, $MN = 6$, $\widehat{N} = 55^\circ$ (nên $\widehat{P} = 35^\circ$).

• Theo góc $N$ ($MP$ đối): $MP = 6 \cdot \tan 55^\circ \approx 8{,}57$.
• Theo góc $P$ ($MP$ kề): $MP = 6 \cdot \cot 35^\circ \approx 8{,}57$. Trùng khớp.

3. Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại khi biết hai yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh.

Ví dụ 1. $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $BC = 12$, $\widehat{B} = 40^\circ$.
$\widehat{C} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$; $AC = 12 \sin 40^\circ \approx 7{,}71$; $AB = 12 \cos 40^\circ \approx 9{,}19$.

Ví dụ 2 (bẫy làm tròn sớm). $AB = 7$, $AC = 24$.
$\tan B = \dfrac{24}{7}$ ⇒ $\widehat{B} \approx 73{,}7^\circ \approx 74^\circ$, $\widehat{C} \approx 16^\circ$; $BC = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$.
Nếu lấy góc đã làm tròn $74^\circ$ để tính $BC = 7 : \cos 74^\circ \approx 25{,}4$ — lệch khỏi 25. Giữ số chưa làm tròn trong máy tính, chỉ làm tròn kết quả cuối.

4. Ứng dụng: góc nâng, góc hạ

• Góc nâng: nhìn lên một vật — góc giữa phương nằm ngang và tia nhìn.
• Góc hạ: nhìn xuống một vật — cũng là góc giữa phương nằm ngang và tia nhìn.
• Cả hai đều tính từ phương nằm ngang, không phải từ bức tường hay cột thẳng đứng.
• Góc hạ từ trên cao xuống vật bằng góc nâng từ vật lên (hai góc so le trong, vì đường nằm ngang song song mặt đất).

Ví dụ 1. Cột cờ sân trường. Mắt bạn cao 1,5 m, bạn đứng cách chân cột 12 m, góc nâng lên đỉnh cột là $40^\circ$.
Phần cột trên tầm mắt: $12 \cdot \tan 40^\circ \approx 10{,}07$ m. Cột cao $\approx 1{,}5 + 10{,}07 = 11{,}57$ (m). Đừng quên cộng chiều cao của mắt!

Ví dụ 2. Từ ban công. Ban công cao 18 m, nhìn chiếc xe đạp dưới sân với góc hạ $25^\circ$. Góc ở chỗ chiếc xe cũng là $25^\circ$, nên khoảng cách từ xe đến chân nhà là $18 \cdot \cot 25^\circ \approx 38{,}6$ (m).

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Dùng sai cặp sin/côsin (hoặc tang/côtang). Luôn hỏi: cạnh này đối hay kề với góc đang dùng? Đổi sang góc kia thì đối ↔ kề đổi chỗ.
2. Làm tròn quá sớm. Làm tròn góc hay cạnh ở giữa bài rồi dùng tiếp sẽ làm kết quả cuối lệch. Giữ số trong máy tính.
3. Nhầm góc nâng với góc hạ, hoặc đo góc từ phương thẳng đứng. Cả hai đều tính từ đường nằm ngang.
4. Quên chiều cao của mắt khi đo chiều cao vật bằng góc nâng.
5. Máy tính để sai chế độ. Phải để chế độ độ (D / Deg), không phải radian.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính cạnh khi biết một cạnh và một góc nhọn

Cách làm: đánh dấu góc đã biết → cạnh cần tìm và cạnh đã biết là đối, kề hay huyền với góc đó → chọn sin, côsin (có cạnh huyền) hoặc tang, côtang (hai cạnh góc vuông).

Bài 1. Tam giác $KMN$ vuông tại $K$, cạnh huyền $MN = 15$, $\widehat{M} = 36^\circ$.
a) Tính $KN$. b) Tính $KM$. c) Nếu chỉ biết $KM = 9$ và $\widehat{M} = 36^\circ$, tính $KN$.

Bài 2. Tam giác $DEF$ vuông tại $D$, $DE = 7$, $\widehat{E} = 63^\circ$. Tính $DF$ và $EF$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Dạng 2. Giải tam giác vuông

Cách làm: biết một góc nhọn thì tìm góc kia trước rồi tính cạnh; biết hai cạnh thì tìm một góc bằng tỉ số lượng giác, cạnh còn lại bằng Pythagore.

Bài 3. Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (góc làm tròn đến độ, cạnh đến hàng phần trăm):
a) $AB = 8$, $\widehat{C} = 34^\circ$. b) $AB = 9$, $BC = 15$.

Bài 4. $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AB = 5$, $AC = 12$. Bạn Tú tính $\widehat{B} \approx 67^\circ$ rồi $BC = 5 : \cos 67^\circ \approx 12{,}8$. Kết quả có đúng không?

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: vẽ tam giác vuông, đặt tên điểm, đánh dấu góc nâng / góc hạ tính từ phương nằm ngang, rồi chọn tỉ số lượng giác.

Bài 5. a) Từ đỉnh vách đá cao 45 m so với mặt biển, bạn thấy chiếc thuyền với góc hạ $20^\circ$. Thuyền cách chân vách đá bao xa?
b) Tuyến cáp treo dài 1 200 m, đưa khách lên cao 420 m. Đường cáp nghiêng bao nhiêu độ so với phương nằm ngang?

Bài 6. Chiếc thang dài 4 m tựa vào tường, tạo với mặt đất góc $72^\circ$. Đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu? Chân thang cách tường bao xa?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Thước đo góc nâng tự chế"

Chuẩn bị: thước đo góc (loại nửa hình tròn), một ống hút, sợi chỉ, cục tẩy nhỏ, băng dính, thước dây.

1. Dán ống hút dọc theo cạnh thẳng của thước đo góc. Buộc sợi chỉ vào tâm thước, đầu dưới treo cục tẩy để chỉ luôn thẳng đứng.
2. Nhìn qua ống hút lên đỉnh một vật cao (cửa, tủ, cây trong sân). Sợi chỉ chỉ số đo $x$ trên thước; góc nâng $= 90^\circ - x$ (hoặc $x - 90^\circ$ tuỳ cách đọc).
3. Đo khoảng cách từ chân bạn đến chân vật và chiều cao mắt bạn. Tính chiều cao vật $=$ chiều cao mắt $+$ khoảng cách $\times \tan(\text{góc nâng})$.
4. Kiểm tra bằng thước dây (với vật thấp). Ai tính lệch ít nhất thì thắng!