Mở đầu về đường tròn

Một chú dê buộc vào cọc bằng sợi dây dài 3 m. Quanh cọc có ba bó cỏ, cách cọc 2 m, 3 m và 4 m. Chú ăn được bó nào? Đọc xong bài này bạn sẽ trả lời được ngay, không cần kéo dây thử.

1. Đường tròn (O; R)

Mở com pa một khoảng R, cắm mũi nhọn tại O rồi quay một vòng. Đầu bút chì vạch ra một đường tròn.

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu (O; R), là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng bằng R.

• Không cần nói bán kính thì viết gọn (O).
• Điểm A nằm trên đường tròn: viết A ∈ (O). Ta còn nói "đường tròn (O) đi qua A".
• Đường kính: đoạn thẳng đi qua tâm, hai đầu nằm trên đường tròn. Đường kính = 2 × bán kính.
• Đường tròn nhận AB làm đường kính gọi là đường tròn đường kính AB. Tâm của nó là trung điểm của AB, bán kính bằng AB : 2.

Ví dụ 1. Com pa mở 3 cm, vẽ quanh O. Ta được đường tròn (O; 3 cm). Mọi điểm A, B, C trên nét vẽ đều có OA = OB = OC = 3 cm.

Ví dụ 2. Một chiếc đĩa tròn có đường kính 20 cm thì bán kính là 20 : 2 = 10 cm, không phải 20 cm.

2. Vị trí của một điểm so với đường tròn

Chỉ cần so OM với R:

Hình tròn tâm O bán kính R gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O; R).

Ví dụ 1 (chú dê). Dây dài 3 m, vẽ đường tròn tâm là cọc, bán kính 3 m.

• Bó cỏ cách 2 m: 2 < 3, nằm trong, ăn thoải mái.
• Bó cách 3 m: 3 = 3, nằm trên, căng dây là với tới.
• Bó cách 4 m: 4 > 3, nằm ngoài, chịu thua.

Vùng cỏ chú dê ăn được chính là một hình tròn.

Ví dụ 2 (bẫy). OM = R thì M nằm trên đường tròn chứ không phải nằm trong. "Nằm trong" chỉ dùng khi OM nhỏ hơn hẳn R.

3. Đối xứng tâm, đối xứng trục

• M và M' đối xứng nhau qua điểm I nếu I là trung điểm của MM'.
• M và M' đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của MM' (d vuông góc với MM' tại trung điểm của MM').

Ví dụ 1. Hai đầu cánh của chiếc quạt trần hai cánh đối xứng nhau qua tâm quạt. Bạn đứng trước gương: bạn và ảnh của bạn đối xứng nhau qua mặt gương.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy: điểm (2; 1) và (−2; −1) đối xứng nhau qua gốc O; điểm (2; 1) và (2; −1) đối xứng nhau qua trục hoành.

4. Tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn

• M ∈ (O; R), lấy M' đối xứng với M qua O. Khi đó OM' = OM = R nên M' ∈ (O). Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn.
• Gập đường tròn theo một đường thẳng bất kì đi qua tâm: hai nửa chồng khít lên nhau. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng, nên đường tròn có vô số trục đối xứng.

Ứng dụng. Muốn tìm tâm một chiếc đế lót cốc bằng giấy: gấp đôi theo hai cách khác nhau. Mỗi nếp gấp là một trục đối xứng nên đi qua tâm; hai nếp gấp cắt nhau đúng tại tâm.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nhầm đường kính với bán kính. Đề cho đường kính 10 cm mà đem 10 so với OM. Luôn đổi ra bán kính trước: R = 10 : 2 = 5.
2. OM = R mà xếp M vào "trong". Bằng thì nằm trên.
3. Tìm điểm đối xứng qua trục hoành mà lại đổi dấu hoành độ. Qua trục hoành: giữ x, đổi dấu y. Qua trục tung: đổi dấu x, giữ y. Qua gốc O: đổi dấu cả hai.
4. Nghĩ đường tròn chỉ có một hay hai trục đối xứng. Đường tròn có vô số trục đối xứng: mọi đường thẳng đi qua tâm.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Xét vị trí của một điểm so với đường tròn

Cách làm: tính khoảng cách từ tâm tới điểm (dùng định lí Pythagore nếu cho toạ độ), đổi đường kính ra bán kính, rồi so với R.

Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (O; 5). Mỗi điểm A(0; −5), B(2; −4), C(−3; 5) nằm trong, trên hay ngoài đường tròn?

Bài 2. Đường tròn tâm O có đường kính 10 cm, điểm M cách O 6 cm. M nằm ở đâu?

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn, tính bán kính

Cách làm: tìm một điểm O cách đều tất cả các điểm (giao hai đường chéo của hình chữ nhật, trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông…). O là tâm, khoảng cách chung là bán kính.

Bài 3. Hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Chứng minh bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn, tính bán kính.

Bài 4. Tam giác DEF vuông tại D có DE = 5, DF = 12. Ba đỉnh có cùng nằm trên một đường tròn không? Tính bán kính.

Dạng 3: Điểm đối xứng và tính đối xứng của đường tròn

Cách làm: điểm nằm trên đường tròn, lấy đối xứng qua tâm, hoặc qua một đường thẳng đi qua tâm, thì điểm mới vẫn nằm trên đường tròn.

Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ, đường tròn (O; 5) đi qua A(3; 4).
a) Tìm B đối xứng với A qua O. B có thuộc đường tròn không? Tính AB.
b) Tìm C đối xứng với A qua trục hoành. C có thuộc đường tròn không?

Bài 6 (vận dụng). Bánh xe đạp có đường kính 60 cm. Van xe đang ở điểm cao nhất của vành. Điểm đối xứng với van qua trục bánh xe nằm ở đâu, và cách van bao xa?

Trò chơi 5 phút ở nhà: "Dê và cỏ"

1. Cắm một chiếc bút xuống giữa tờ giấy làm "cọc", buộc một sợi chỉ dài 5 cm, đầu kia buộc bút chì. Căng chỉ, quay một vòng: bạn vừa vẽ một đường tròn không cần com pa.
2. Một người chấm vài "bó cỏ" lên giấy. Người kia đoán mỗi bó nằm trong, trên hay ngoài, rồi dùng thước đo khoảng cách tới cọc để kiểm tra.
3. Cắt hình tròn ra, gấp đôi hai lần theo hai cách khác nhau: giao của hai nếp gấp có trùng với lỗ cọc không?