Cung và dây của một đường tròn

Căng một sợi dây giữa hai điểm trên vành bánh xe: dây dài nhất khi nó đi qua tâm. Còn phần vành nằm giữa hai đầu dây là một cung, và cung được đo bằng độ, nhờ góc ở tâm.

1. Dây và đường kính

• Dây (dây cung): đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của đường tròn.
• Đường kính: dây đi qua tâm. Đường tròn bán kính $R$ có đường kính dài $2R$.

Định lí. Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. Mọi dây $AB$ của $(O; R)$ đều có $AB \le 2R$.

Vì sao? Nếu dây $AB$ không qua tâm thì $O, A, B$ là ba đỉnh của tam giác, nên $AB < OA + OB = R + R = 2R$. Nếu $AB$ qua tâm thì $AB = 2R$.

Hình dung: cho một dây trượt dần về phía tâm, dây dài dần và dài nhất đúng lúc nó đi qua tâm.

Ví dụ 1 — miệng cốc. Miệng cốc tròn bán kính 4 cm. Một que đặt ngang miệng cốc, hai đầu chạm vành. Que này dài nhất là $2 \cdot 4 = 8$ cm (khi đặt qua tâm miệng cốc).

Ví dụ 2 — dây nào có thể có? Đường tròn bán kính 5 cm (đường kính 10 cm):

• dây 6 cm: có ($6 < 10$);
• dây 10 cm: có, chính là đường kính;
• dây 12 cm: không thể có, vì $12 > 10$.

2. Góc ở tâm và cung

• Hai điểm $A, B$ trên đường tròn chia đường tròn thành hai cung; $A$, $B$ là hai mút của mỗi cung.
• Góc ở tâm: góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn, ví dụ $\widehat{AOB}$.
• Khi $\widehat{AOB}$ không bẹt: cung nằm trong góc là cung nhỏ, cung còn lại là cung lớn.
  • Cung nhỏ: $\overset{\frown}{AmB}$, viết gọn $\overset{\frown}{AB}$.
  • Cung lớn: $\overset{\frown}{AnB}$ — phải có thêm một điểm nằm trên cung để khỏi nhầm.
• Khi $\widehat{AOB}$ bẹt ($AB$ là đường kính): mỗi cung là một nửa đường tròn.
• Ta nói $\widehat{AOB}$ chắn cung nhỏ $AB$.

Ví dụ 1 — miếng pizza. Cắt một miếng pizza từ tâm bánh: mũi miếng bánh là góc ở tâm, phần viền của miếng là cung nhỏ bị chắn, phần viền còn lại trên bánh là cung lớn.

Ví dụ 2 — cẩn thận. Lấy thêm điểm $C$ trên đường tròn. $\widehat{ACB}$ có đỉnh $C$ nằm trên đường tròn, không phải ở tâm, nên không phải góc ở tâm.

3. Số đo của một cung

• Kí hiệu số đo cung $AB$: $\text{sđ}\overset{\frown}{AB}$. Cung có số đo $n^\circ$ gọi là cung $n^\circ$.
• Hai cung bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.
• Điểm $C$ nằm trên cung $AB$ thì $\text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AC} + \text{sđ}\overset{\frown}{CB}$ (số đo cộng lại được).

Ví dụ 1. $\widehat{AOB} = 80^\circ$ ⇒ cung nhỏ $AB$ bằng $80^\circ$, cung lớn $AB$ bằng $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$.

Ví dụ 2 — pizza 6 miếng. Chiếc bánh cắt thành 6 miếng đều nhau: mỗi miếng ứng với cung $360^\circ : 6 = 60^\circ$, sáu cung này bằng nhau. Ghép hai miếng liền nhau: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Vì sao cung lớn luôn lớn hơn $180^\circ$? Cung nhỏ bằng một góc ở tâm không bẹt, tức nhỏ hơn $180^\circ$; cung lớn bằng $360^\circ$ trừ đi số đó nên lớn hơn $180^\circ$. Góc thì không bao giờ quá $180^\circ$, còn cung thì có thể.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Tính cung lớn bằng $180^\circ -$ cung nhỏ. Sai: phải là $360^\circ -$ cung nhỏ (cả đường tròn là $360^\circ$).
2. Nhầm góc có đỉnh trên đường tròn là góc ở tâm. Góc ở tâm phải có đỉnh đúng tại tâm.
3. Viết cung lớn chỉ bằng hai chữ cái. $\overset{\frown}{AB}$ được hiểu là cung nhỏ; cung lớn phải có thêm một điểm ở giữa.
4. Nghĩ số đo cung cũng không quá $180^\circ$ như góc. Cung lớn luôn lớn hơn $180^\circ$.
5. Cho một dây dài hơn đường kính. Không có dây nào dài hơn $2R$.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết góc ở tâm, gọi tên cung

Cách làm: góc ở tâm phải có đỉnh đúng tại tâm. Cung nhỏ gọi bằng hai mút; cung lớn thêm một điểm nằm trên nó.

Bài 1. Đường tròn $(O)$ có đường kính $MP$; $N$, $Q$ là hai điểm trên đường tròn (nằm ở hai phía của $MP$).
a) Trong các góc $\widehat{MON}$, $\widehat{MNP}$, $\widehat{NOQ}$, góc nào là góc ở tâm?
b) Gọi tên hai cung có hai mút $M$, $N$. Cung nào là cung nhỏ?

Bài 2. Trên đường tròn $(O)$ lấy ba điểm $D, E, F$. Kể tên các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm đó.

Dạng 2. Tính số đo cung

Cách làm: số đo cung nhỏ = góc ở tâm chắn nó; cung lớn = $360^\circ -$ cung nhỏ.

Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB$.
a) $\widehat{AOB} = 110^\circ$. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn $AB$.
b) Dây $AB$ dài bằng bán kính. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn $AB$.

Bài 4. Vòng đu quay có 12 ca-bin gắn đều trên vành, quay một vòng hết 20 phút.
a) Số đo cung nhỏ giữa hai ca-bin cạnh nhau?
b) Sau 8 phút, một ca-bin đi được cung bao nhiêu độ?

Dạng 3. Dây và đường kính

Cách làm: mọi dây đều $\le 2R$. Tính khoảng cách từ tâm đến dây: nối tâm với hai đầu dây (tam giác cân), lấy trung điểm $H$ của dây, dùng định lí Pythagore.

Bài 5. Đường tròn $(O; 13\text{ cm})$.
a) Có dây nào dài 27 cm không?
b) Dây $AB = 24$ cm. Tính khoảng cách từ $O$ đến $AB$.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Cắt bánh đo độ"

Chuẩn bị: một cái đĩa tròn (hoặc giấy cắt hình tròn), bút, thước đo góc.

1. Đánh dấu tâm đĩa. Một người vẽ hai tia từ tâm ra vành, người kia đoán số đo cung nhỏ giữa hai tia, rồi đo góc ở tâm bằng thước đo góc để kiểm tra. Đoán lệch ít nhất thì được 1 điểm.
2. Người đoán phải nói luôn số đo cung lớn ($360^\circ$ trừ cung nhỏ) — nói sai thì mất điểm.
3. Lượt cuối: đặt một que (đũa) ngang đĩa, hai đầu chạm vành. Ai đặt được que dài nhất? (Đáp: đặt qua tâm — đường kính.)