Tới nội dung

Toán lớp 9 · Bài 15 · 8 phút

Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

Một miếng pizza, một chiếc quạt giấy, một lối đi quanh bồn hoa: tất cả đều là một phần của hình tròn. Bạn đã biết tính cho cả hình tròn, nên chỉ cần biết mình đang lấy bao nhiêu phần của nó.

0. Nhắc lại

Đường tròn bán kính $R$ (đường kính $d = 2R$ ):

Chu vi (độ dài đường tròn): $C = 2\pi R = \pi d$ .
Diện tích hình tròn: $S = \pi R^2$ .
Thường lấy $\pi \approx 3{,}14$ .

Cả vòng tròn ứng với $360^\circ$ . Cung $n^\circ$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ vòng tròn.

1. Độ dài cung tròn

Cung $n^\circ$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ vòng, nên độ dài của nó cũng bằng $\dfrac{n}{360}$ chu vi:
$l = \frac{n}{360}\cdot 2\pi R = \frac{\pi R n}{180}.$

Hình dung: "duỗi" cung ra thành một đoạn thẳng. Đoạn thẳng đó dài đúng $l$ .

Ví dụ 1: đầu kim phút. Kim phút dài 10 cm. Trong 15 phút, kim quay một phần tư vòng, tức $90^\circ$ . Đầu kim đi được
$l = \dfrac{\pi \cdot 10 \cdot 90}{180} = 5\pi \approx 15{,}7$ (cm).

Ví dụ 2. Cung $135^\circ$ của đường tròn bán kính 8 cm dài
$l = \dfrac{\pi \cdot 8 \cdot 135}{180} = 6\pi \approx 18{,}84$ (cm).

2. Hình quạt tròn

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua hai đầu cung. Miếng pizza, vùng nước của vòi tưới xoay, một nan quạt xoè ra đều có dạng hình quạt.

Hình quạt ứng với cung $n^\circ$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ hình tròn:
$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{l \cdot R}{2}.$

Vì sao $\dfrac{lR}{2}$ ? Cắt hình quạt thành rất nhiều lát mỏng. Mỗi lát gần như một tam giác có chiều cao $R$ . Các đáy nhỏ cộng lại bằng $l$ . Tổng diện tích là $\dfrac{l \cdot R}{2}$ , giống diện tích tam giác đáy $l$ , cao $R$ .

Ví dụ 1: vòi tưới cỏ. Vòi xoay qua lại một góc $80^\circ$ và phun xa 6 m. Vùng cỏ được tưới là hình quạt:
$S_q = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 80}{360} = 8\pi \approx 25{,}12$ (m²).

Ví dụ 2: không cần số đo góc. Hình quạt bán kính 5 cm có cung dài 12 cm:
$S_q = \dfrac{12 \cdot 5}{2} = 30$ (cm²). Không cần biết $n$ , cũng không cần $\pi$ !

3. Hình vành khuyên

Hình vành khuyên (vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn cùng tâm, bán kính $R > r$ . Nó là hình tròn lớn bỏ đi hình tròn nhỏ:
$S_v = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2).$

Ví dụ 1: lối đi quanh bồn hoa. Bồn hoa tròn bán kính 3 m, xung quanh lát một lối đi rộng 1 m. Hình tròn ngoài có bán kính $3 + 1 = 4$ m:
$S_v = \pi(4^2 - 3^2) = 7\pi \approx 21{,}98$ (m²).

Ví dụ 2: cái bẫy. $R = 7$ , $r = 4$ . Viết $\pi(7 - 4)^2 = 9\pi$ là sai. Phải bình phương từng bán kính rồi mới trừ:
$\pi(49 - 16) = 33\pi$ .

4. Bảng tóm tắt

Đại lượng	Công thức	Nhớ nhanh
Độ dài đường tròn	$C = 2\pi R$	cả vòng
Độ dài cung $n^\circ$	$l = \dfrac{\pi R n}{180}$	$\dfrac{n}{360}$ của $C$
Diện tích hình tròn	$S = \pi R^2$	cả hình
Diện tích hình quạt	$S_q = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{lR}{2}$	$\dfrac{n}{360}$ của $S$
Diện tích vành khuyên	$S_v = \pi(R^2 - r^2)$	tròn lớn trừ tròn nhỏ

Chỉ cần nhớ một ý: $\dfrac{l}{C} = \dfrac{S_q}{S} = \dfrac{n}{360}$ . Thay $C = 2\pi R$ , $S = \pi R^2$ là ra lại cả hai công thức.

5. Lỗi hay gặp

Dùng đường kính thay cho bán kính. Đề cho đường kính thì chia đôi trước khi thay vào công thức.
Nhầm 180 với 360. Độ dài cung chia 180 (vì $2\pi R$ có sẵn số 2). Diện tích quạt chia 360.
$\pi(R - r)^2 \ne \pi(R^2 - r^2)$ . Bình phương từng bán kính rồi mới trừ.
Quên đơn vị. Độ dài là cm, m. Diện tích là cm², m².
Để kết quả dạng $k\pi$ cho gọn. Đề bảo làm tròn thì mới thay $\pi \approx 3{,}14$ .

6. Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính độ dài cung tròn

Cách làm: tìm bán kính $R$ (đề cho đường kính thì chia 2) và số đo $n$ , rồi thay vào $l = \dfrac{\pi R n}{180}$ . Biết $l$ , muốn tìm $n$ thì đổi vế: $n = \dfrac{180\, l}{\pi R}$ .

Bài 1.
a) Tính độ dài cung $75^\circ$ của đường tròn bán kính 6 cm.
b) Một đường tròn có đường kính 20 cm. Tính độ dài cung $54^\circ$ .
c) Một cung của đường tròn bán kính 12 cm dài $4\pi$ cm. Cung đó bao nhiêu độ?

Đáp án

a) $l = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 75}{180} = 2{,}5\pi \approx 7{,}85$ cm.
b) $R = 10$ cm. $l = \dfrac{\pi \cdot 10 \cdot 54}{180} = 3\pi \approx 9{,}42$ cm. (Thay nhầm 20 vào sẽ ra $6\pi$ , gấp đôi.)
c) $\dfrac{\pi \cdot 12 \cdot n}{180} = 4\pi$ nên $n = \dfrac{180 \cdot 4}{12} = 60^\circ$ .

Bài 2. Bánh xe đạp trẻ em có bán kính 25 cm. Van xe quay một cung $144^\circ$ quanh trục. Van xe đi được bao nhiêu xăng-ti-mét (làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án

$l = \dfrac{\pi \cdot 25 \cdot 144}{180} = 20\pi \approx 62{,}8$ cm.

Dạng 2: Tính diện tích hình quạt tròn

Cách làm: biết $R$ và $n$ thì dùng $S_q = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$ (chia 360). Biết $R$ và độ dài cung $l$ thì dùng $S_q = \dfrac{lR}{2}$ .

Bài 3.
a) Tính diện tích hình quạt bán kính 6 cm, cung $40^\circ$ .
b) Tính diện tích hình quạt bán kính 10 cm, cung $72^\circ$ .
c) Hình quạt bán kính 8 cm có cung dài 9 cm. Tính diện tích.

Đáp án

a) $S_q = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 40}{360} = 4\pi \approx 12{,}56$ cm².
b) $S_q = \dfrac{\pi \cdot 100 \cdot 72}{360} = 20\pi \approx 62{,}8$ cm². (Chia nhầm 180 sẽ ra $40\pi$ , gấp đôi.)
c) $S_q = \dfrac{9 \cdot 8}{2} = 36$ cm².

Bài 4. Một chiếc bánh sinh nhật tròn bán kính 12 cm được cắt thành 10 miếng đều nhau. Tính diện tích mặt một miếng bánh.

Đáp án

Mỗi miếng ứng với cung $360^\circ : 10 = 36^\circ$ . $S_q = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 36}{360} = 14{,}4\pi \approx 45{,}22$ cm².

Dạng 3: Tính diện tích hình vành khuyên

Cách làm: xác định bán kính lớn $R$ và bán kính nhỏ $r$ , rồi tính $S_v = \pi(R^2 - r^2)$ . Bình phương từng số rồi mới trừ.

Bài 5.
a) Tính diện tích hình vành khuyên giữa hai đường tròn cùng tâm có bán kính 9 cm và 5 cm.
b) Một vòng đệm có đường kính ngoài 16 mm, đường kính lỗ 8 mm. Tính diện tích mặt vòng đệm.

Đáp án

a) $S_v = \pi(81 - 25) = 56\pi \approx 175{,}84$ cm².
b) $R = 8$ mm, $r = 4$ mm. $S_v = \pi(64 - 16) = 48\pi \approx 150{,}72$ mm². (Dùng luôn đường kính sẽ ra $192\pi$ , gấp 4 lần.)

Dạng 4: Bài toán thực tế

Cách làm: vẽ hình, chỉ ra hình cần tính là cung, hình quạt hay vành khuyên. Tìm $R$ , $r$ , $n$ từ đề (cắt đều $k$ miếng thì $n = 360 : k$ ), rồi áp dụng công thức.

Bài 6: pizza. Một chiếc pizza đường kính 32 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau.
a) Viền bánh của một miếng dài bao nhiêu?
b) Mặt bánh của một miếng rộng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông?

Đáp án

$R = 16$ cm, $n = 360^\circ : 8 = 45^\circ$ .
a) $l = \dfrac{\pi \cdot 16 \cdot 45}{180} = 4\pi \approx 12{,}56$ cm.
b) $S_q = \dfrac{\pi \cdot 256 \cdot 45}{360} = 32\pi \approx 100{,}48$ cm². (Hoặc $\dfrac{lR}{2} = \dfrac{4\pi \cdot 16}{2} = 32\pi$ .)

Bài 7: quạt giấy. Một chiếc quạt giấy xoè ra một góc $120^\circ$ . Nan quạt dài 24 cm, phần dán giấy dài 12 cm (tính từ mép ngoài vào). Tính diện tích phần giấy.

Đáp án

Phần giấy là một phần của hình vành khuyên $R = 24$ , $r = 24 - 12 = 12$ , chiếm $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ vòng.
$S = \dfrac{1}{3}\pi(24^2 - 12^2) = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 432 = 144\pi \approx 452{,}16$ cm².

Bài 8: sân vận động. Đường chạy vòng quanh sân gồm hai đoạn thẳng dài 80 m và hai nửa đường tròn. Mép trong của đường chạy là nửa đường tròn bán kính 36 m, đường chạy rộng 4 m. Tính diện tích phần đường chạy (lấy $\pi \approx 3{,}14$ ).

Đáp án

Hai nửa vành khuyên ghép lại thành một vành khuyên $R = 40$ , $r = 36$ : $\pi(1600 - 1296) = 304\pi \approx 954{,}56$ m².
Hai đoạn thẳng là hai hình chữ nhật $80 \times 4$ : $2 \cdot 320 = 640$ m².
Tổng: $\approx 954{,}56 + 640 = 1\,594{,}56$ m².

7. Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đo pizza bằng sợi chỉ"

Cần: một cái đĩa hoặc nắp nồi tròn, một sợi chỉ, thước kẻ, bút.

Đo bán kính cái đĩa. Tính chu vi $2\pi R$ .
Chia vành đĩa thành 8 phần bằng nhau (vẽ nhẹ bằng bút chì). Mỗi phần là một cung $45^\circ$ .
Đặt sợi chỉ ôm theo một cung, đánh dấu, rồi duỗi thẳng sợi chỉ ra đo bằng thước.
So kết quả đo với $\dfrac{\pi R \cdot 45}{180}$ . Lệch không quá vài mi-li-mét là bạn đo giỏi!

Đổi vai: một người chọn số miếng cắt (6, 10, 12…), người kia tính nhanh số đo mỗi cung và độ dài viền của một miếng.