Tới nội dung

Toán lớp 9 · Bài 16 · 8 phút

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

Một đường thẳng và một đường tròn chỉ có thể cắt nhau (2 điểm chung), tiếp xúc (1 điểm chung) hoặc không giao nhau (0 điểm chung). Muốn biết là trường hợp nào, bạn chỉ cần so khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với bán kính.

1. Ba vị trí tương đối

Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$ . Kẻ $OH \perp a$ ( $H \in a$ ). Độ dài $d = OH$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ .

Vị trí của $a$ và $(O; R)$	Số điểm chung	So sánh $d$ và $R$
Cắt nhau	2	$d < R$
Tiếp xúc nhau	1	$d = R$
Không giao nhau	0	$d > R$

Hình dung: cho đường thẳng trượt dần ra xa tâm. Lúc đầu nó cắt đường tròn ở 2 điểm; hai điểm ấy chạy lại gần nhau, nhập làm một đúng lúc $d = R$ ; rồi đường thẳng rời hẳn đường tròn.

Ví dụ 1 — cắt bánh pizza. Bánh pizza tròn bán kính 15 cm. Lưỡi dao thẳng đặt cách tâm bánh:

9 cm: $9 < 15$ ⇒ dao cắt qua bánh (vết cắt có 2 đầu trên mép bánh);
15 cm: $d = R$ ⇒ dao chỉ chạm mép bánh ở 1 điểm;
18 cm: $18 > 15$ ⇒ dao không chạm bánh.

Ví dụ 2 — bẫy "điểm bất kì". Đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ , điểm $A$ nằm trên đường thẳng $a$ với $OA = 7$ cm. Có kết luận được " $a$ không giao đường tròn" không?
Không. $OA$ chỉ là khoảng cách từ $O$ tới một điểm của $a$ , không phải khoảng cách tới đường thẳng. Khoảng cách thật là đoạn vuông góc $OH$ , và $OH \le OA$ . Chẳng hạn $OH = 3$ cm $< 5$ cm thì $a$ vẫn cắt đường tròn.

2. Tiếp tuyến vuông góc với bán kính

Khi $a$ tiếp xúc với $(O)$ tại $H$ : $a$ gọi là tiếp tuyến, $H$ là tiếp điểm, và

$OH \perp a \quad \text{(tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm).}$

Vì sao? Mọi điểm khác của $a$ đều nằm ngoài đường tròn, nên $OH$ là đoạn ngắn nhất từ $O$ tới $a$ — chính là đoạn vuông góc.

Ví dụ 1 — bánh xe. Bánh xe lăn trên mặt đường phẳng: mặt đường là tiếp tuyến của vành bánh. Nan hoa nối trục bánh với điểm chạm đường luôn thẳng đứng, vuông góc với mặt đường, dù bánh lăn tới đâu.

Ví dụ 2 — tính đoạn thẳng. $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ , $OA = 9$ cm, $AM = 12$ cm. Tính $OM$ .
$OA \perp AM$ nên tam giác $OAM$ vuông tại $A$ : $OM^2 = 9^2 + 12^2 = 225$ , $OM = 15$ cm.

3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm $A$ của đường tròn và vuông góc với bán kính $OA$ tại điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Cần đủ cả hai điều kiện. Một đường thẳng đi qua $A$ nhưng nghiêng (không vuông góc với $OA$ ) sẽ cắt đường tròn thêm một điểm nữa, nên không phải tiếp tuyến.

Ví dụ 1 — vẽ tiếp tuyến tại một điểm. Muốn vẽ tiếp tuyến tại điểm $A$ trên đường tròn: nối bán kính $OA$ , đặt ê ke vuông góc với $OA$ tại $A$ rồi kẻ đường thẳng. Xong!

Ví dụ 2 — kiểm tra bằng Pythagore. Đường tròn $(O; 8\text{ cm})$ , điểm $A$ trên đường tròn, điểm $B$ với $AB = 6$ cm, $OB = 10$ cm. Đường thẳng $AB$ có là tiếp tuyến không?
$OA^2 + AB^2 = 64 + 36 = 100 = OB^2$ ⇒ tam giác $OAB$ vuông tại $A$ (Pythagore đảo) ⇒ $AB \perp OA$ tại $A$ ⇒ $AB$ là tiếp tuyến.

4. Hai tiếp tuyến cắt nhau

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn kẻ được hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ ( $A$ , $B$ là tiếp điểm). Khi đó:

$MA = MB$ (điểm $M$ cách đều hai tiếp điểm);
$MO$ là tia phân giác của góc $AMB$ (góc tạo bởi hai tiếp tuyến);
$OM$ là tia phân giác của góc $AOB$ (góc tạo bởi hai bán kính).

Lí do: hai tam giác vuông $OAM$ và $OBM$ có chung cạnh huyền $OM$ và $OA = OB = R$ nên bằng nhau.

Ví dụ 1 — viên kem ốc quế. Viên kem tròn đặt trong chiếc ốc quế hình chữ V: hai mép ốc quế là hai tiếp tuyến xuất phát từ đáy nhọn $M$ . Hai chỗ chạm cách đáy ốc quế bằng nhau, và tâm viên kem nằm trên trục giữa của ốc quế.

Ví dụ 2. $MA$ , $MB$ là hai tiếp tuyến của $(O; 7\text{ cm})$ , $OM = 25$ cm.
$MA^2 = 25^2 - 7^2 = 576$ ⇒ $MA = 24$ cm, và $MB = MA = 24$ cm.

Bảng ghi nhớ

Kí hiệu	Đọc là
$(O; R)$	đường tròn tâm $O$ , bán kính $R$
$d = OH$ , $OH \perp a$	khoảng cách từ tâm tới đường thẳng
$d < R$ · $d = R$ · $d > R$	cắt nhau · tiếp xúc · không giao nhau
$a \perp OA$ tại $A \in (O)$	$a$ là tiếp tuyến tại $A$
$MA = MB$	hai tiếp tuyến từ một điểm dài bằng nhau

Lỗi hay gặp

Lấy khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kì trên đường thẳng thay cho khoảng cách vuông góc. Phải hạ đường vuông góc $OH$ .
Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn là tiếp tuyến? Chưa chắc! Phải thêm điều kiện vuông góc với bán kính tại điểm đó.
So $d$ với đường kính thay vì bán kính. Đề cho đường kính thì chia đôi trước.
Quên góc vuông ở tiếp điểm khi tính toán — gần như bài nào có tiếp tuyến cũng dùng tam giác vuông $OAM$ và Pythagore.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Xác định vị trí tương đối (so $d$ với $R$ )

Tính (hoặc đọc) $d$ là khoảng cách vuông góc từ tâm tới đường thẳng, đổi đường kính thành bán kính nếu cần, rồi so với $R$ .

Bài 1. Đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ , khoảng cách từ $O$ đến $a$ là $d = 3$ cm. Vị trí của $a$ và đường tròn?

Đáp án

$d = 3 < 5 = R$ ⇒ cắt nhau (2 điểm chung).

Bài 2. Một đường tròn có đường kính 10 cm, tâm cách đường thẳng $a$ là 5 cm. Bạn Minh nói " $5 < 10$ nên cắt nhau". Đúng không?

Đáp án

Sai. Bán kính $R = 10 : 2 = 5$ cm $= d$ ⇒ $a$ tiếp xúc với đường tròn.

Bài 3. Đường thẳng $a$ cắt $(O; 13\text{ cm})$ tại $A$ và $B$ , khoảng cách từ $O$ đến $a$ là 5 cm. Tính $AB$ .

Đáp án

Hạ $OH \perp AB$ . Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $H$ là trung điểm $AB$ . $AH^2 = 13^2 - 5^2 = 144$ , $AH = 12$ ⇒ $AB = 24$ cm.

Bài 4. Đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ , điểm $M$ thuộc đường thẳng $a$ với $OM = 9$ cm. Có kết luận được vị trí của $a$ và đường tròn không?

Đáp án

Không. $OM$ không phải khoảng cách từ $O$ đến $a$ (chỉ biết $d \le 9$ ). Cần biết $d$ — ví dụ $d = 4$ thì cắt, $d = 6$ thì tiếp xúc, $d = 8$ thì không giao.

Dạng 2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến

Chỉ ra đường thẳng đi qua một điểm $A$ của đường tròn và vuông góc với $OA$ tại $A$ (thường dùng Pythagore đảo để chứng tỏ góc vuông).

Bài 1. $(O; 5\text{ cm})$ , $A$ thuộc đường tròn, điểm $M$ có $AM = 12$ cm, $OM = 13$ cm. Chứng minh $MA$ là tiếp tuyến.

Đáp án

$OA^2 + AM^2 = 25 + 144 = 169 = OM^2$ ⇒ góc $OAM = 90°$ ⇒ $MA \perp OA$ tại $A$ ⇒ $MA$ là tiếp tuyến.

Bài 2. $(O; 4\text{ cm})$ , $A$ thuộc đường tròn, điểm $N$ có $AN = 6$ cm, $ON = 7$ cm. $NA$ có là tiếp tuyến không?

Đáp án

$OA^2 + AN^2 = 16 + 36 = 52 \ne 49 = ON^2$ ⇒ góc $OAN$ không vuông ⇒ $NA$ không là tiếp tuyến (nó cắt đường tròn thêm một điểm nữa), dù đi qua điểm $A$ của đường tròn.

Dạng 3. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Vẽ hai bán kính tới tiếp điểm (góc vuông ở $A$ , $B$ ), dùng $MA = MB$ , hai tia phân giác và Pythagore trong tam giác vuông $OAM$ .

Bài 1. $MA$ , $MB$ là hai tiếp tuyến của $(O; 8\text{ cm})$ , $OM = 17$ cm. Tính $MA$ , $MB$ .

Đáp án

$MA^2 = 17^2 - 8^2 = 225$ ⇒ $MA = 15$ cm, $MB = MA = 15$ cm.

Bài 2. Hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ của $(O; 4\text{ cm})$ tạo góc $AMB = 60°$ . Tính góc $AOB$ và $OM$ .

Đáp án

$MO$ là phân giác ⇒ góc $AMO = 30°$ . Tam giác $OAM$ vuông tại $A$ ⇒ góc $AOM = 60°$ , và $OM$ là phân giác góc $AOB$ ⇒ góc $AOB = 120°$ . $\sin 30° = \dfrac{OA}{OM}$ ⇒ $OM = 4 : \dfrac{1}{2} = 8$ cm.

Bài 3 (thực tế). Chiếc bàn tròn bán kính 60 cm kê sát vào góc vuông của hai bức tường (mặt bàn chạm cả hai tường). Tâm bàn cách góc tường bao nhiêu?

Đáp án

Hai tường là hai tiếp tuyến từ góc $M$ , tiếp điểm $A$ , $B$ . Tứ giác $OAMB$ có ba góc vuông và $OA = OB$ ⇒ là hình vuông cạnh 60 cm. $OM = \sqrt{60^2 + 60^2} = 60\sqrt{2} \approx 84{,}9$ cm.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Chạm, cắt hay trượt?"

Cần: một cái cốc (hoặc nắp hộp tròn), một chiếc thước kẻ, bút chì.

Úp cốc lên giấy, vẽ vòng tròn theo miệng cốc. Tìm tâm bằng cách gấp đôi tờ giấy hai lần (hai nếp gấp cắt nhau ở tâm).
Một người đặt thước ở một chỗ bất kì. Người kia đoán trước: thước sẽ cắt, chạm hay không chạm vòng tròn — bằng cách đo khoảng cách vuông góc từ tâm tới mép thước (dùng ê ke) rồi so với bán kính.
Kiểm tra bằng mắt, đúng được 1 điểm. Thử đặt thước sao cho vừa chạm — rồi kiểm tra bán kính tới chỗ chạm có vuông góc với thước không.