Tới nội dung

Toán lớp 9 · Bài 17 · 8 phút

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

Hai đường tròn có thể gặp nhau ở 2 điểm, 1 điểm hoặc không điểm nào. Không cần vẽ, bạn vẫn biết trước được: chỉ cần so đoạn nối hai tâm với tổng và hiệu hai bán kính.

Trong cả bài, xét hai đường tròn phân biệt $(O; R)$ và $(O'; r)$ với $R \ge r$ ( $R$ là bán kính lớn hơn).

1. Hai đường tròn cắt nhau — 2 điểm chung

Hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì gọi là cắt nhau; hai điểm chung là hai giao điểm.

$R - r < OO' < R + r$

Ví dụ 1 — vòng sóng. Ném hai viên sỏi xuống hồ, hai vòng sóng có bán kính 50 cm và 30 cm, hai tâm cách nhau 60 cm.
Hiệu $= 20$ , tổng $= 80$ , và $20 < 60 < 80$ ⇒ hai vòng sóng cắt nhau.

Ví dụ 2 — hai bán kính bằng nhau. Hai đường tròn cùng bán kính 4 cm, tâm cách nhau 3 cm.
Hiệu $= 4 - 4 = 0$ , tổng $= 8$ , và $0 < 3 < 8$ ⇒ vẫn cắt nhau (dù hai tâm rất gần).

2. Hai đường tròn tiếp xúc — 1 điểm chung

Hai đường tròn có đúng một điểm chung thì gọi là tiếp xúc nhau; điểm chung là tiếp điểm. Tiếp điểm luôn nằm trên đường thẳng nối hai tâm.

Kiểu	Hình dung	Hệ thức
Tiếp xúc ngoài	hai đường tròn nằm ngoài nhau, chạm nhau	$OO' = R + r$
Tiếp xúc trong	đường tròn nhỏ nằm trong, chạm đường tròn lớn	$OO' = R - r$

Mẹo nhớ: ngoài thì cộng, trong thì trừ.

Ví dụ 1 — nắp chai sát nắp hũ. Nắp chai bán kính 1,5 cm đặt sát nắp hũ bán kính 4 cm (chạm từ bên ngoài): hai tâm cách nhau $4 + 1{,}5 = 5{,}5$ cm.

Ví dụ 2 — nắp chai trong lòng đĩa. Thả nắp chai vào đĩa bán kính 10 cm, cho chạm vành (chạm từ bên trong): hai tâm cách nhau $10 - 1{,}5 = 8{,}5$ cm.

3. Hai đường tròn không giao nhau — 0 điểm chung

Kiểu	Hình dung	Hệ thức
Ở ngoài nhau	mỗi đường tròn nằm hẳn bên ngoài đường tròn kia	$OO' > R + r$
Đựng nhau	$(O; R)$ chứa trọn $(O'; r)$	$OO' < R - r$

Đặc biệt: $O$ trùng $O'$ (và $R \ne r$ ) thì hai đường tròn đồng tâm — một trường hợp của đựng nhau.

Ví dụ 1 — hai bánh xe đạp. Hai bánh cùng bán kính 33 cm, hai trục cách nhau 1 m. Đổi $1\text{ m} = 100$ cm; tổng $= 66 < 100$ ⇒ hai bánh xe ở ngoài nhau.

Ví dụ 2 — trứng ốp la. Lòng trắng bán kính 5 cm, lòng đỏ bán kính 2 cm, tâm lệch nhau 1 cm. Hiệu $= 3 > 1$ ⇒ lòng trắng đựng lòng đỏ.

4. Cái thước $OO'$ — nhớ cả bài trong một hình

Đặt độ dài $OO'$ lên một cái thước có hai mốc $R - r$ và $R + r$ :

 0 ──── đựng ────●──────── cắt nhau ────────●──── ở ngoài nhau ────▶ OO'
               R − r                       R + r
         (bằng: tiếp xúc trong)       (bằng: tiếp xúc ngoài)

Số điểm chung	Vị trí	Hệ thức
2	cắt nhau	$R - r < OO' < R + r$
1	tiếp xúc ngoài	$OO' = R + r$
1	tiếp xúc trong	$OO' = R - r > 0$
0	ở ngoài nhau	$OO' > R + r$
0	đựng nhau (đồng tâm khi $OO' = 0$ )	$OO' < R - r$

Lỗi hay gặp

Chỉ so với $R + r$ , quên $R - r$ . Thấy $OO' < R + r$ liền kết luận "cắt nhau" — sai nếu $OO'$ còn nhỏ hơn cả $R - r$ (khi đó là đựng nhau).
Nhầm tiếp xúc trong với tiếp xúc ngoài. "Tiếp xúc" không có nghĩa là luôn cộng: chạm từ bên trong thì $OO' = R - r$ .
Lấy $R$ là bán kính của $(O)$ một cách máy móc. $R$ là bán kính lớn hơn; nếu $(O')$ to hơn thì hiệu là bán kính $(O')$ trừ bán kính $(O)$ .
"Không cắt nhau" chưa chắc là "không giao nhau". Không cắt nhau còn gồm cả trường hợp tiếp xúc (1 điểm chung).
Quên đổi đơn vị trước khi so (m với cm).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Xác định vị trí tương đối

Cách làm: tính $R + r$ và $R - r$ (lớn trừ nhỏ) → đặt $OO'$ lên thước → đọc vị trí.

Bài 1. Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và điểm $O'$ với $OO' = 7$ cm. Xác định vị trí tương đối của $(O)$ và $(O'; r)$ khi:
a) $r = 3$ cm b) $r = 2$ cm c) $r = 13$ cm

Đáp án

a) Tổng 8, hiệu 2: $2 < 7 < 8$ ⇒ cắt nhau.
b) Tổng $5 + 2 = 7 = OO'$ ⇒ tiếp xúc ngoài.
c) Tổng 18 nhưng hiệu $13 - 5 = 8$ và $7 < 8$ ⇒ $(O')$ đựng $(O)$ (không phải cắt nhau!).

Bài 2. Hai đường tròn $(A; 6\text{ cm})$ và $(B; 2{,}5\text{ cm})$ . Chúng nằm thế nào nếu a) $AB = 10$ cm; b) $AB = 3$ cm; c) $AB = 0$ ?

Đáp án

Tổng $8{,}5$ , hiệu $3{,}5$ .
a) $10 > 8{,}5$ ⇒ ở ngoài nhau. b) $3 < 3{,}5$ ⇒ $(A)$ đựng $(B)$ . c) Hai tâm trùng nhau ⇒ hai đường tròn đồng tâm.

Dạng 2. Tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài

Cách làm: $OO' = R + r$ ⇒ tiếp xúc ngoài; $OO' = R - r$ ⇒ tiếp xúc trong.

Bài 3. Cho $(O; 9\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ .
a) $OO' = 13$ cm. b) $OO' = 5$ cm. c) Biết $(O; 7\text{ cm})$ tiếp xúc trong với $(O'; x)$ và $OO' = 3$ cm. Tìm $x$ .

Đáp án

a) $9 + 4 = 13$ ⇒ tiếp xúc ngoài.
b) $9 - 4 = 5$ ⇒ tiếp xúc trong (đừng kết luận "không tiếp xúc" chỉ vì $5 \ne 13$ ).
c) $|7 - x| = 3$ ⇒ $x = 4$ (khi $(O')$ nhỏ hơn) hoặc $x = 10$ (khi $(O')$ lớn hơn).

Bài 4. Hai đường tròn $(M; 3\text{ cm})$ và $(N; 5\text{ cm})$ tiếp xúc nhau. Tính $MN$ trong từng trường hợp.

Đáp án

Tiếp xúc ngoài: $MN = 8$ cm. Tiếp xúc trong: $MN = 2$ cm.

Dạng 3. Bài toán thực tế

Bài 5. Hai vòi tưới xoay tròn: vòi thứ nhất tưới xa 5 m, vòi thứ hai tưới xa 3 m.
a) Đặt hai vòi cách nhau 9 m. Hai vùng tưới có chạm nhau không?
b) Muốn hai vòng tưới cắt nhau thì hai vòi phải cách nhau bao nhiêu?

Đáp án

a) $9 > 5 + 3 = 8$ ⇒ ở ngoài nhau, không chạm (dải cỏ ở giữa bị khô).
b) $5 - 3 < d < 5 + 3$ , tức $2\text{ m} < d < 8\text{ m}$ . Nếu $d < 2$ m thì vòng nhỏ nằm trọn trong vòng lớn — vòi thứ hai chỉ tưới lại chỗ đã ướt.

Bài 6. Một đồng hồ treo tường hình tròn bán kính 15 cm. Bạn muốn dán một hình tròn trang trí bán kính 4 cm bên trong mặt đồng hồ, chạm vào viền. Tâm hình trang trí cách tâm đồng hồ bao nhiêu?

Đáp án

Tiếp xúc trong: $15 - 4 = 11$ cm.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Hai cái đĩa"

Lấy hai cái đĩa (hoặc hai nắp nồi) khác cỡ và một cây thước.

Người thứ nhất đặt hai đĩa trên bàn, đo bán kính mỗi đĩa và khoảng cách hai tâm (đo từ tâm này sang tâm kia).
Người thứ hai, chưa nhìn, chỉ nghe ba con số rồi đoán: cắt nhau, tiếp xúc ngoài/trong, ở ngoài nhau hay đựng nhau.
Nhìn lại hai chiếc đĩa để kiểm tra. Đổi vai. Thử cố tình đặt sao cho vừa chạm mép — đó là lúc khó đoán nhất!